🇬🇧 English

🔥 Симулятор Теплопровідності

2D рівняння теплопровідності ∂T/∂t = α∇²T розв'язується в реальному часі методом FTCS скінченних різниць. Клікайте або малюйте, щоб додати гарячі / холодні джерела, й спостерігайте дифузію теплової енергії по сітці.

Пензлик

Фізика

Статистика

Макс T0.0 °C
Мін T0.0 °C
Сер T0.0 °C
Крок0
Порада: Намалюйте гарячу пляму, а потім холодні стінки поруч. α контролює швидкість поширення тепла — більші значення швидше досягають рівноваги. Схема FTCS стабільна при α·dt/dx² < 0.25.

Про цю симуляцію

Цей симулятор розв'язує 2D рівняння теплопровідності ∂T/∂t = α∇²T на сітці 160×160 у реальному часі. Тепло поширюється теплопровідністю: кожна комірка обмінюється тепловою енергією зі своїми чотирма сусідами, тож різкі гарячі та холодні плями поступово згладжуються, доки поле не наблизиться до рівноваги. Сітка оновлюється за явною схемою скінченних різниць FTCS — класичним чисельним методом для задач дифузії, що дозволяє побачити, як термічна дифузивність визначає темп, з яким градієнти температури розчиняються по поверхні.

🔬 Що це показує

Симуляція візуалізує дифузію температури на квадратній сітці, що описується рівнянням теплопровідності ∂T/∂t = α∇²T. Кожен крок застосовує оновлення Forward-Time Central-Space (FTCS), де нове значення комірки дорівнює її старому значенню плюс α, помножене на дискретний лапласіан її чотирьох сусідів. Кольорова карта проходить від чорного (нуль) через червоний, жовтий і білий для гарячих ділянок та через синій до блакитного для холодних. На межі підтримується сталим 0 °C (умова Діріхле).

🎮 Як користуватися

Оберіть гарячий або холодний пензлик, потім клікайте чи малюйте на сітці, щоб додавати джерела тепла. Повзунок «Температура» задає величину (10–200 °C), а «Радіус пензлика» — розмір намальованого диска (1–8 комірок). У розділі «Фізика» дифузивність α (0.05–0.50) контролює швидкість поширення тепла, а «Кроків / кадр» (1–20) задає швидкість симуляції. Панель «Статистика» показує максимальну, мінімальну та середню температуру й кількість кроків; «Очистити» обнуляє поле.

💡 Чи знали ви?

Явна схема FTCS стабільна лише умовно: у 2D безрозмірне число α·dt/dx² має залишатися меншим за 0.25, інакше похибки округлення підсилюються на кожному кроці й розв'язок розходиться. Саме тому повзунок дифузивності тут обмежено значенням 0.50 за dt = dx = 1, що тримає метод на межі його стійкості.

Поширені запитання

Яке рівняння теплопровідності розв'язує ця симуляція?

Це 2D рівняння теплопровідності (або дифузії), записане як ∂T/∂t = α∇²T, де T — температура, t — час, α — термічна дифузивність, а ∇² — лапласіан. Воно стверджує, що швидкість зміни температури в точці пропорційна тому, наскільки ця точка відрізняється від середнього свого оточення, через що тепло перетікає з гарячих ділянок до холодних.

Як саме метод FTCS обчислює кожен крок?

Forward-Time Central-Space замінює похідні скінченними різницями на сітці. Наступна температура кожної комірки дорівнює її поточному значенню плюс α, помножене на суму її чотирьох сусідів мінус її значення, помножене на чотири. Оскільки нове поле залежить лише від старого, кожну комірку можна оновлювати незалежно за один явний прохід — це швидко, але обмежено умовою стійкості.

Що змінюють повзунки дифузивності та швидкості?

Дифузивність α масштабує те, наскільки сильно кожна комірка тягнеться до середнього своїх сусідів, тож більше α змушує тепло поширюватися швидше й раніше досягати рівноваги. «Кроків / кадр» задає, скільки оновлень FTCS виконується перед кожним перемальовуванням — фактично це регулятор швидкості часу: більше кроків на кадр прискорює симульований час, але не змінює базової фізики.

Чи фізично точна ця симуляція?

Модель є точною дискретизацією ідеального рівняння теплопровідності для ізотропного однорідного середовища з краями фіксованої температури (умова Діріхле) при 0 °C. Це навчальний інструмент, тож він використовує безрозмірні одиниці сітки замість реальних матеріальних констант й ігнорує конвекцію, випромінювання та залежні від температури властивості. Проте якісну поведінку кондуктивного теплопереносу відтворено правильно.

Чому тепло зрештою згасає до нуля?

Чотири краї сітки зафіксовано на 0 °C, тож вони безперервно відводять теплову енергію з області. За відсутності внутрішнього джерела тепла, що підтримувало б її, теплопровідність згладжує кожен градієнт, а енергія витікає крізь ці фіксовані межі, доки все поле не наблизиться до граничного значення нуль. Повторне малювання гарячих чи холодних плям додає свіжу енергію й перезапускає дифузію.