🌡️ Рівняння теплопровідності — 2D розподіл температури

Малюйте джерела тепла та холодильники на 2D пластині, спостерігайте за еволюцією температурного поля. Перемикайтесь між нестаціонарним (покроковим) та стаціонарним (ітерація Гауса-Зейделя) режимами.

🇬🇧 English

Інструмент

Симуляція

Температура (°C)

Макс—
Мін—
Середня—
Крок0
0°50°100°
∂T/∂t = α·∇²T
МСР: T[i][j]n+1 = Tn +
α·Δt/Δx²·(Tліво+Tправо+
Tвгору+Tвниз−4·T)
Стійкість: α·Δt/Δx² ≤ 0.25

Фізика теплопровідності

Рівняння теплопровідності ∂T/∂t = α∇²T описує дифузію температури в середовищі, де α = k/(ρcₚ) — температуропровідність (теплопровідність, поділена на густину та питому теплоємність). Метод скінченних різниць (МСР) апроксимує похідні на дискретній сітці: лапласіан ∇²T ≈ (Ti+1,j + Ti-1,j + Ti,j+1 + Ti,j-1 − 4Ti,j) / Δx². Для явного кроку за часом умова стійкості α·Δt/Δx² ≤ 0.25 запобігає чисельній нестійкості. Стаціонарний стан (∂T/∂t = 0, рівняння Лапласа ∇²T = 0) знаходиться ітераційно методом Гауса-Зейделя.

Про цю симуляцію

Ця симуляція розв'язує двовимірне рівняння теплопровідності ∂T/∂t = α∇²T на сітці 80×80 за допомогою явного методу скінченних різниць. Малюйте гарячі джерела, холодні поглиначі та ізолюючі стіни прямо на полотні — і спостерігайте, як температура розповсюджується, доки розв'язувач крок за кроком застосовує п'ятиточковий шаблон лапласіана. Окремий алгоритм релаксації Гауса-Зейделя дозволяє миттєво перейти до стаціонарного розподілу — гармонійного поля, яке описує рівняння Лапласа ∇²T = 0 після затухання всіх перехідних процесів.

🔬 Що показує

Кожен кадр анімації перераховує температуру кожної вільної клітинки за її чотирма сусідами за формулою T ← T + (α·Δt/Δx²)·(Tліво+Tправо+Tвгору+Tвниз−4T), а результат розфарбовується від темно-синього (0°C) через зелений і жовтий до білого (100°C). Гарячі клітинки залишаються зафіксованими на 100°C, холодні — на 0°C, а стіни тримають сталу температуру 20°C і водночас блокують дифузію крізь себе. Показники Макс, Мін, Середня та лічильник кроків оновлюються щокадру.

🎮 Як користуватися

Оберіть Гаряче, Холодне або Стіна, а потім клацніть і потягніть по полотну, щоб намалювати джерело обраного розміру пензля; Ластик повертає клітинки до вільної дифузії. Повзунок Дифузивність α (0.01–0.48) задає швидкість розповсюдження тепла, а код завжди обмежує ефективний часовий крок так, щоб α·Δt/Δx² не перевищувало приблизно 0.24. Кнопка «Стаціонарний стан» миттєво виконує 3000 ітерацій Гауса-Зейделя; «Очистити» повертає пластину до однорідних 20°C; кнопки «Стрижень» і «Кімната» завантажують готові пресети.

💡 Чи знали ви?

Жозеф Фур'є вивів це рівняння ще у 1822 році у праці «Аналітична теорія тепла». Та сама математика, де температуру замінюють на густину ймовірності, описує броунівський рух і лежить в основі формули Блека-Шоулза для оцінки опціонів, яку й досі використовують у фінансах.

Поширені запитання

Що саме контролює повзунок Дифузивність α?

Альфа задає температуропровідність у рівнянні ∂T/∂t = α∇²T, визначаючи, наскільки швидко тепло поширюється пластиною за один крок. Симуляція автоматично масштабує внутрішній часовий крок так, щоб α·Δt/Δx² ніколи не перевищувало приблизно 0.24, зберігаючи чисельну стійкість явної схеми навіть при максимальному значенні повзунка 0.48.

Чим стіни відрізняються від гарячих і холодних джерел?

Гарячі та холодні клітинки зафіксовані на сталих температурах (100°C і 0°C) і діють як постійні джерела чи поглиначі, безперервно додаючи або забираючи тепло щокроку. Стіни тримають сталі 20°C, але головне — шаблон обчислення трактує сусідню клітинку-стіну як таку, що дорівнює температурі поточної клітинки, тож вона фактично блокує потік тепла крізь межу, як ізолятор.

Що відбувається після натискання «Стаціонарний стан»?

Кнопка зупиняє покрокову анімацію і замість неї одразу виконує 3000 ітерацій релаксації Гауса-Зейделя, багаторазово усереднюючи кожну вільну клітинку з її чотирма сусідами. Це наближає систему до розв'язку рівняння Лапласа ∇²T = 0 — розподілу, до якого пластина зрештою прийшла б, якби симуляція працювала нескінченно довго, — і обчислюється майже миттєво, а не кадр за кадром.

Що показують пресети «Стрижень» і «Кімната»?

Пресет «Стрижень» розміщує вертикальний стовпчик гарячих клітинок 100°C біля лівого краю та холодну стіну 0°C уздовж правого краю, з ізолюючими стінами зверху й знизу — це ілюструє просте перенесення тепла від джерела до поглинача крізь пластину. Пресет «Кімната» розміщує смугу «радіатора» 80°C знизу та смугу «вікна» 0°C у верхньому правому куті, оточені ізолюючими стінами, показуючи, як тепло нерівномірно розповсюджується у приміщенні.

Чому симуляція обмежує вплив дифузивності на швидкість обчислень?

Явні схеми скінченних різниць для рівняння теплопровідності залишаються чисельно стійкими лише доки α·Δt/Δx² не перевищує 0.25; вище цього порогу дрібні похибки посилюються з кожним кроком, і температурне поле замість згладжування починає осцилювати й розходитися. Код запобігає цьому, обмежуючи ефективне співвідношення значенням 0.24 незалежно від того, наскільки високо встановлено повзунок Дифузивність.