🌡️ Рівняння теплопровідності — 2D розподіл температури

Малюйте джерела тепла та холодильники на 2D пластині, спостерігайте за еволюцією температурного поля. Перемикайтесь між нестаціонарним (покроковим) та стаціонарним (ітерація Гауса-Зейделя) режимами.

Інструмент

Симуляція

Дифузивність α 0.20 Розмір пензля 5 пкс

Температура (°C)

Макс—

Мін—

Середня—

Крок0

0°50°100°

∂T/∂t = α·∇²T
МСР: T[i][j]_n+1 = T_n +
α·Δt/Δx²·(T_ліво+T_право+
T_вгору+T_вниз−4·T)
Стійкість: α·Δt/Δx² ≤ 0.25

Фізика теплопровідності

Рівняння теплопровідності ∂T/∂t = α∇²T описує дифузію температури в середовищі, де α = k/(ρcₚ) — температуропровідність (теплопровідність, поділена на густину та питому теплоємність). Метод скінченних різниць (МСР) апроксимує похідні на дискретній сітці: лапласіан ∇²T ≈ (T_i+1,j + T_i-1,j + T_i,j+1 + T_i,j-1 − 4T_i,j) / Δx². Для явного кроку за часом умова стійкості α·Δt/Δx² ≤ 0.25 запобігає чисельній нестійкості. Стаціонарний стан (∂T/∂t = 0, рівняння Лапласа ∇²T = 0) знаходиться ітераційно методом Гауса-Зейделя.