⚫ Геодезичні Шварцшильда

Геодезична — це шлях, яким вільно падаючий об'єкт рухається крізь викривлений простір-час. Розв'язок Шварцшильда описує простір-час навколо сферичної, необертової, незарядженої маси, тож геодезична Шварцшильда — це орбіта частинки чи світлового променя поблизу такої чорної діри, повністю визначена кривизною простору-часу, а не якоюсь силою.

Вона інтегрує радіальне рівняння руху, виведене з метрики Шварцшильда, за допомогою ефективного потенціалу V²eff(r) = (1 − Rs/r)(1 + L̃²/r²). На кожному кроці вона просуває радіус r, радіальну швидкість dr/dτ і кут φ методом Рунге-Кутта четвертого порядку, а потім переводить r і φ в координати екрана, щоб намалювати орбіту.

Кнопки «Масивна» та «Фотон» перемикають між частинкою зі спокійною масою й безмасовим світловим променем. Три повзунки задають безрозмірний момент імпульсу L̃, енергію Ẽ та масу чорної діри M. «Запуск» починає нову орбіту з її зовнішньої точки повороту, а «Очистити» стирає всі збережені траєкторії.

Радіус Шварцшильда — це Rs = 2GM/c², місце розташування горизонту подій. У геометричних одиницях симуляції Rs дорівнює 2M, і панель статистики показує, що для однієї сонячної маси це приблизно 2,95 км. Усе, що перетинає цей радіус, не може вирватися — навіть світло.

У ньютонівській гравітації зв'язана орбіта — це ідеальний замкнений еліпс. Загальна теорія відносності додає додатковий член до ефективного потенціалу, тож кут, пройдений між послідовними найближчими зближеннями, трохи перевищує 360 градусів. Результат — розетка: орбіта повільно обертається, що є саме тією прецесією перигелію, яку вперше пояснив Ейнштейн.

ISCO, найвнутрішніша стабільна кругова орбіта, розташована на r = 3Rs (6M); всередині неї стабільної кругової орбіти для масивної частинки не існує. Фотонна сфера на r = 1,5Rs — це радіус, де світло може рухатися нестабільною круговою орбітою. Обидві позначені пунктирними кільцями на полотні.

Якщо енергія частинки Ẽ² перевищує пік ефективного потенціалу, внутрішньої точки повороту, що могла б її зупинити, немає, тож радіус монотонно зменшується, поки не перетне горизонт. Зниження моменту імпульсу L̃ згладжує цей потенціальний бар'єр, тому орбіти з низьким L падають, а з високим L залишаються зв'язаними.

Ẽ = E/mc² — це збережена енергія на одиницю маси спокою, а L̃ = L/mc — збережений момент імпульсу на одиницю маси, обидва зроблені безрозмірними масою частинки і швидкістю світла. Це константи руху, що виникають із часової та обертальної симетрії метрики Шварцшильда, тому всю орбіту можна вивести лише з цих двох чисел плюс M.

Рівняння — це справжні рівняння геодезичних Шварцшильда, інтегровані методом Рунге-Кутта четвертого порядку, тож якісні особливості, такі як прецесія, ISCO, фотонна сфера й падаючі траєкторії, коректні. Вона припускає рух в одній площині й використовує геометричні одиниці; розмір числового кроку обмежує точність дуже близько до горизонту, тож це навчальний інструмент, а не дослідницький інтегратор.