UK 
EnglishТипова
Polski📈 Нелінійні коливання — Осцилятор Дуффінга
Осцилятор Дуффінга: хаотичний рух, фазовий портрет, перетин Пуанкаре та діаграма біфуркацій. Інтерактивна нелінійна динаміка.
Схожі симуляції
Про цю симуляцію
Ця симуляція чисельно інтегрує осцилятор Дуффінга, ẍ + δẋ + αx + βx³ = γ·cos(ωt), за допомогою схеми Рунге–Кутти четвертого порядку. При від'ємній лінійній жорсткості α та додатній кубічній жорсткості β потенціал системи V(x) = ½αx² + ¼βx⁴ утворює подвійну яму, даючи осцилятору дві стабільні точки спокою, між якими він може перестрибувати під дією періодичного збудження. Залежно від демпфування δ, амплітуди збудження γ і частоти збудження ω траєкторія може осісти в простій періодичній орбіті, циклі з подвоєним періодом, або в повністю хаотичному русі — характерний приклад детермінованого хаосу в маловимірній нелінійній системі.
🔬 Що це показує
Чотири пов'язані відображення однієї й тієї ж траєкторії: фазовий портрет положення x проти швидкості ẋ, перетин Пуанкаре, що вибирає (x, ẋ) раз на період збудження, розкриваючи структуру атрактора, діаграма біфуркацій, яка наносить довгострокові точки Пуанкаре проти амплітуди збудження γ, і часовий трек x(t).
🎮 Як користуватися
Перетягуйте повзунки α, β, δ, γ і ω, щоб змінити форму потенціальних ям, демпфування та збудження. Використовуйте кнопки пресетів «Періодичний», «Період-2», «Хаотичний» і «Жорстка пружина», щоб одразу перейти до характерних режимів, і натисніть «Сканувати біфуркацію», щоб пройти γ від 0 до 1,5 і побудувати діаграму біфуркацій. Перемикайтеся між вкладками «Фазовий портрет», «Перетин Пуанкаре», «Біфуркація» та x(t), щоб змінити те, що показує головна канва.
💡 Чи знали ви?
Рівняння Дуффінга вивів Георг Дуффінг у 1918 році для моделювання поведінки нелінійних механічних осциляторів із «жорсткою пружиною» — за десятиліття до того, як «теорія хаосу» стала окремою галуззю; пізніше воно стало однією з перших підручникових систем для демонстрації маршрутів подвоєння періоду до хаосу.
Поширені запитання
Що робить осцилятор Дуффінга «нелінійним»?
Член βx³ робить силу відновлення нелінійною: на відміну від простої пружини, де сила пропорційна зміщенню, тут сила зростає з кубом x. У поєднанні з від'ємним лінійним членом α це створює потенціал з двома ямами, де сумарна сила відновлення може штовхати масу до однієї з двох стабільних позицій замість єдиної рівноваги.
Чому в системи дві «ями»?
Коли α від'ємне, а β додатне, функція потенціальної енергії V(x) = ½αx² + ¼βx⁴ має локальний максимум у x = 0 і два локальні мінімуми обабіч. Ці мінімуми і є двома ямами; без збудження система осіла б у ту яму, до якої була ближче на старті, але періодичне збудження може перекидати її туди-сюди між ними.
Що таке перетин Пуанкаре і навіщо вибирати точку раз за період?
Перетин Пуанкаре бере неперервну траєкторію і записує її стан лише через фіксовані інтервали — тут раз на кожен період збудження T = 2π/ω. Для суто періодичної орбіти це дає одну повторювану точку, для циклу з періодом 2 — дві точки, що чергуються, а для хаотичного руху — розсіяну, фрактальноподібну хмару точок, яку називають дивним атрактором.
Як діаграма біфуркацій пов'язана з фазовим портретом?
Діаграма біфуркацій будується фіксуванням усіх параметрів, крім γ, доведенням симуляції до усталеного стану для кожного значення γ і нанесенням отриманих x-координат Пуанкаре у вигляді вертикальних зрізів. Там, де діаграма показує одну точку на кожне γ, фазовий портрет показує просту періодичну петлю; там, де вона розходиться у щільну смугу, фазовий портрет показує заплутану, неповторювану траєкторію, характерну для хаосу.
Чому збільшення амплітуди збудження γ веде до хаосу?
Зі зростанням γ енергія, що накачується за кожен період, збільшується, і врешті траєкторія отримує достатньо енергії, щоб вирватися з однієї ями й перейти в іншу. Поблизу цього переходу система стає надзвичайно чутливою до початкових умов: два майже однакові початкові стани розходяться експоненційно, що є визначальною ознакою детермінованого хаосу, тут видимою як каскади подвоєння періоду, що ведуть до широкосмугового, аперіодичного руху.