📈 Nichtlineare Schwingungen — Duffing-Oszillator

Der Term βx³ macht die Rückstellkraft nichtlinear: Anders als bei einer einfachen Feder, bei der die Kraft proportional zur Auslenkung ist, wächst hier die Kraft mit der dritten Potenz von x. Zusammen mit einem negativen linearen Term α entsteht ein Doppelmuldenpotenzial, bei dem die resultierende Rückstellkraft die Masse zu einer von zwei stabilen Positionen drängen kann, statt zu einem einzigen Gleichgewicht.

Wenn α negativ und β positiv ist, besitzt die potenzielle Energiefunktion V(x) = ½αx² + ¼βx⁴ ein lokales Maximum bei x = 0 und zwei lokale Minima zu beiden Seiten. Diese Minima sind die beiden Mulden; ohne Antrieb würde sich das System in der Mulde einpendeln, der es näher gestartet ist, aber periodischer Antrieb kann es zwischen ihnen hin- und herstoßen.

Ein Poincaré-Schnitt nimmt eine kontinuierliche Trajektorie und erfasst ihren Zustand nur in festen Abständen, hier einmal pro Antriebsperiode T = 2π/ω. Für eine rein periodische Bahn ergibt das einen einzigen sich wiederholenden Punkt, für einen Zyklus mit Periode 2 zwei abwechselnde Punkte, und für chaotische Bewegung eine verstreute, fraktalähnliche Punktwolke, die als seltsamer Attraktor bezeichnet wird.

Das Bifurkationsdiagramm entsteht, indem alle Parameter außer γ fixiert werden, die Simulation für jeden γ-Wert bis zu einem stationären Zustand läuft und die resultierenden Poincaré-x-Koordinaten als vertikale Scheiben aufgetragen werden. Wo das Diagramm einen einzelnen Punkt pro γ zeigt, zeigt das Phasenporträt eine einfache periodische Schleife; wo es sich zu einem dichten Band auffächert, zeigt das Phasenporträt die verworrene, nicht sich wiederholende Trajektorie, die für Chaos charakteristisch ist.

Mit wachsendem γ steigt die pro Periode eingebrachte Energie, und irgendwann hat die Trajektorie genug Energie, um eine Mulde zu verlassen und in die andere zu wechseln. Nahe diesem Übergang wird das System extrem empfindlich gegenüber Anfangsbedingungen: Zwei fast identische Startzustände divergieren exponentiell, das ist die charakteristische Signatur deterministischen Chaos, hier sichtbar als Kaskaden von Periodenverdopplungen, die in breitbandige, aperiodische Bewegung münden.