🪀 Фізика Йо-Йо — Обертальна Механіка

Оскільки нитка змушує йо-йо обертатися під час падіння, гравітація мусить ділити свою енергію між поступальним рухом і обертанням. Прискорення дорівнює a = g / (1 + R²/(2r²)). Оскільки зовнішній радіус R набагато більший за радіус осі r, знаменник великий, тож a становить лише малу частку g, і спуск виходить плавним.

Йо-йо розглядається як однорідний суцільний диск, тому його момент інерції відносно центральної осі дорівнює I = ½MR², де M — маса, а R — зовнішній радіус. Це значення обчислюється в реальному часі з повзунків маси й зовнішнього радіуса і безпосередньо впливає на прискорення та обертальну кінетичну енергію ½Iω².

Маса M задає масу диска в грамах, зовнішній радіус R і радіус осі r задають розміри диска та осі в міліметрах, довжина нитки задає відстань падіння в сантиметрах, а втрати в підшипнику додають невелике гальмування, залежне від швидкості, у відсотках. Маса скорочується в формулі прискорення, але масштабує кожне значення енергії, а втрати в підшипнику визначають, як швидко йо-йо зрештою зупиниться.

Під час спуску гравітаційна потенціальна енергія перетворюється на поступальну кінетичну енергію (½Mv²) та обертальну кінетичну енергію (½Iω²). Оскільки v = ωr фіксується ниткою, розподіл між ними залишається у постійному співвідношенні R²:r². Кольорові смуги на панелі показують ці три запаси енергії в реальному часі.

Радіус осі r входить у формулу прискорення у квадраті й визначає, як швидко обертається диск за заданої швидкості падіння, оскільки ω = v/r. Тонша вісь змушує йо-йо обертатися швидше, зберігає більше енергії в обертанні й сповільнює спуск; товща вісь дає йому падати швидше. Це саме той «передавальний» трюк, який використовують справжні конструктори йо-йо.

Коли нитка повністю розмотана, йо-йо на мить «засинає», а потім обертання диска перемотує нитку назад і піднімає його вгору. У симуляції це реалізовано як розворот швидкості з невеликою втратою, тому кожен підйом досягає трохи меншої висоти за попереднє падіння, аж доки рух не згасне повністю.

Основна фізика коректна: використано правильний момент інерції суцільного диска, стандартну формулу прискорення та точний облік енергії. Втім, це ідеалізація — вона ігнорує розтягування й товщину нитки, опір повітря та точну механіку «сну» і перемотування, натомість моделюючи втрати як просту регульовану частку у кожній точці розвороту.

Ні. Маса скорочується у формулі прискорення a = g / (1 + R²/(2r²)), тому легке й важке йо-йо однакової форми опускаються з однаковою швидкістю, як і при вільному падінні. Проте маса збільшує кожне значення енергії й дає важчому йо-йо більший імпульс, допомагаючи йому довше обертатися чи «спати» на практиці.

Він моделює тертя в осі та опір повітря як витік енергії, пропорційний швидкості. При 0% йо-йо коливається між верхом і низом майже нескінченно; збільшення значення забирає енергію з кожним проходом, тому коливання загасає і пристрій зупиняється швидше, імітуючи зупинку справжнього йо-йо.

«Сон» — це йо-йо, що вільно обертається внизу повністю розмотаної нитки. Що більше обертальної кінетичної енергії ½Iω² воно несе, то довше «спить», перш ніж тертя його зупинить. Гравці обирають важчі обода й малофрикційні підшипники, щоб максимізувати цей запас обертання — саме ті величини, які відстежує смуга обертальної КЕ в цій симуляції.

Симуляція покроково рухається вперед із фіксованим прискоренням і оновлює швидкість, положення та кут обертання на кожному кадрі анімації з невеликим кроком часу (обмеженим приблизно 33 мс). Кут наростає як ω = v/r, а на кожному верхньому чи нижньому розвороті швидкість реверсується з обраною втратою. Саме це чисельне інтегрування створює плавний, безперервно оновлюваний рух, який ви бачите.