UK 
EnglishТипова
Polski🎵 Коливання струни — стоячі хвилі та гармоніки
Інтерактивна симуляція коливання струни. Смикайте струну мишею або обирайте гармонічні моди. Спостерігайте за вузлами й пучностями хвиль, регулюйте натяг та лінійну густину.
Про цю симуляцію
Цей симулятор розв'язує ідеалізоване одновимірне хвильове рівняння для струни, закріпленої на обох кінцях, ∂²y/∂t² = (T/μ)·∂²y/∂x², чия поперечна швидкість хвилі дорівнює c = √(T/μ). Оскільки обидва кінці закріплені, можуть існувати лише стоячі хвилі, що вкладають ціле число півхвиль на струні, що дає основну частоту f₁ = (1/2L)√(T/μ) та гармоніки fn = n·f₁. Клацання по струні задає початкову трикутну форму щипка в позиції x₀, яку код розкладає на 16 гармонік за допомогою точних коефіцієнтів Фур'є bn = (2/n²π²)·sin(nπx₀)/[x₀(1−x₀)]. Кожен кадр форма струни перебудовується як y(x,t) = Σbn·sin(nπx/L)·cos(2πfnt), причому амплітуда кожної гармоніки згасає з однаковим експоненційним коефіцієнтом затухання.
🔬 Що показує
Защипнута струна, що в реальному часі перебудовується з до 16 синусоїдальних гармонік: основне полотно малює підсумовану форму струни плюс слабкі «примарні» криві для перших шести окремих гармонік, тоді як нижня панель — це стовпчиковий спектр амплітуди кожної гармоніки fn = n·f₁, що згасають разом у міру того, як коефіцієнт затухання зменшує кожен доданок з часом.
🎮 Як користуватися
Клацніть будь-де на струні, щоб защипнути її в цій точці, або перетягніть повзунки Довжина L, Натяг T, Лінійна густина μ, Позиція щипку x₀ та Затухання. Чотири інструментальні пресети (гітара, скрипка, віолончель, піаніно) одразу переносять до реалістичних комбінацій натягу/довжини/густини для справжніх основних тонів цих струн.
💡 Чи знали ви?
Защипніть точно посередині (x₀=0.5), і кожна парна гармоніка зникає — sin(nπ·0.5) дорівнює нулю для парних n, оскільки середина лежить на вузлі цих мод. Саме тому гітаристи та арфісти щипають ближче до підставки: це збуджує більше високих парних гармонік для яскравішого тону.
Часті запитання
Чому закріплена струна вібрує лише на певних частотах?
Оскільки струна затиснута в точках x=0 та x=L, зміщення y має дорівнювати нулю в обох кінцях у будь-який момент часу. Лише синусоїдальні форми sin(nπx/L) з цілим числом n піввхвиль задовольняють цю граничну умову, тому рух струни обмежений цим дискретним рядом мод стоячих хвиль, кожна з яких коливається на fₙ = n·f₁ = n·(1/2L)√(T/μ) — будь-яка інша форма чи частота не може підтримувати нульове зміщення на кінцях і не є допустимим вільним коливанням струни.
Як позиція щипку x₀ змінює гармонічний склад?
Коефіцієнт Фур'є для гармоніки n від трикутного щипка в точці x₀ дорівнює bn = (2/n²π²)·sin(nπx₀)/[x₀(1−x₀)], обчислюється щоразу, коли ви клацаєте або пересуваєте повзунок позиції щипку. Щипок біля кінця (мале або велике x₀) сильно збуджує багато гармонік, даючи яскравий, дзвінкий тон, тоді як щипок ближче до середини концентрує енергію в основному тоні та непарних гармоніках і дає округліший, тепліший звук — це видно безпосередньо на стовпчиках спектра.
Чому натяг, довжина та лінійна густина змінюють висоту тону?
Швидкість хвилі на струні дорівнює c = √(T/μ): більший натяг T підсилює відновлювальну силу і прискорює хвилю, тоді як більша лінійна густина μ (важча струна) сповільнює її. Оскільки основна частота f₁ = c/(2L), коротша, тугіша, легша струна завжди звучить вище, а довша, слабше натягнута, важча — завжди нижче — саме тому товсті басові струни гітари налаштовані низько, а тонка верхня струна — високо.
Чи є затухання в цій симуляції фізично реалістичним?
Не зовсім — код множить амплітуду кожної гармоніки на той самий коефіцієнт затухання у степені 60t щосекунди, тому всі 16 парціалів згасають з однаковою відносною швидкістю. Реальні струни насправді гасять вищі гармоніки швидше за основний тон, оскільки опір повітря та внутрішнє тертя зростають із частотою, тому щипнута гітарна нота поступово тьмяніє (втрачає яскравість) у міру звучання. Рівномірне згасання в цьому симуляторі — спрощення, обране для того, щоб довше зберігати видимим ряд гармонік.
Що це за слабкі «примарні» криві, намальовані позаду основної форми струни?
Код окремо малює перші шість окремих синусоїдальних гармонік, кожну масштабовану за власною амплітудою й намальовану з низькою прозорістю (drawHarmonics), перш ніж накласти зверху повну підсумовану форму струни суцільним кольором. Спостереження за ними поряд наочно показує, як основний тон і нижні обертони — sin(πx/L), sin(2πx/L), sin(3πx/L) і так далі — складаються разом, утворюючи єдину складну хвильову форму, яку насправді описує струна.
Інтерактивна симуляція коливання струни. Смикайте струну мишею або обирайте гармонічні моди (основний тон, 2-й, 3-й … обертони). Спостерігайте за стоячими хвилями, вузлами та пучностями. Регулюйте натяг, лінійну густину та затухання.
2D · HTML5 Canvas 2D · Ціль 60 FPS · працює повністю на стороні клієнта, без встановлення