🕸️ Мережа Пружин — Випадкова Пружна Ґратка

Джеймс Клерк Максвел показав у 1864 році, що шарнірний каркас у d вимірах із N вузлами та B зв'язками є жорстким, коли B ≥ dN − d(d+1)/2. Для великих 2D-мереж це спрощується до середнього ступеня z_c = 2d = 4: нижче цього порогу мережа має безенергетичні (floppy) моди деформації, а вище нього мережа є напружено-жорсткою.

Floppy-мода — це колективна деформація мережі, яка не потребує енергії, тобто механізм. Нижче порогу Максвела z_c мережа має f = 2N − B − 3 незалежних floppy-мод. Це м'які моди, які дозволяють велику деформацію за нехтовно малих енергетичних витрат, що робить матеріал механічно слабким.

Аморфні тверді тіла (скло, гелі, волокнисті мережі) не мають кристалічного порядку, але мають механічну жорсткість. Випадкові мережі пружин відтворюють їхню основну фізику: розподіл ступенів вузлів контролює модулі пружності, а перехід жорсткості при z_c = 2d аналогічний геометричному фазовому переходу, що спостерігається в сипких матеріалах, колоїдних гелях і біополімерних мережах.

За прикладеної деформації афінне зміщення — це проста однорідна деформація, яку можна побачити в суцільному твердому тілі (кожна точка рухається пропорційно до свого положення). Неафінні зміщення — це додаткові, неоднорідні перебудови, що виникають у невпорядкованих мережах для компенсації напруження; вони найбільші поблизу порогу жорсткості й вимірюються параметром неафінності Γ.

Модуль об'ємної пружності K і модуль зсуву G випадкової мережі пружин залежать від зв'язності p та жорсткості пружин k. Поблизу порогу жорсткості обидва модулі прямують до нуля за степеневим законом: G ~ (z − z_c)^f із критичним показником f≈1.4 у 2D. Це степеневе зникнення аналогічне критичній поведінці при перколяції.

У міру зростання зв'язності p від 0 мережа переходить від floppy-стану до жорсткого при критичній зв'язності p_c, що відповідає z_c = 4. Цей перехід перколяції жорсткості відрізняється від перколяції зв'язності (коли шлях уперше з'єднує всю систему) і відбувається за вищого значення p. Поблизу p_c мережа демонструє критичні флуктуації та розбіжні масштаби довжини.

Цитоскелет живих клітин — це біополімерна мережа актинових філаментів і мікротрубочок, зшитих білками. Зв'язність цих мереж визначає жорсткість клітини та механосенсорику. Позаклітинний матрикс, колагенові гелі та фібринові згустки також поводяться як випадкові мережі пружин, у яких перехід жорсткості регулюється густиною зшивок.

Чисті пружинні (центрально-силові) мережі мають жорсткість лише вище z_c = 4 у 2D. Мережі з кутовими (згинальними) пружинами між з'єднаними зв'язками є жорсткими за будь-якого z > 2, оскільки жорсткість на згин стабілізує механізми, яким центрально-силові пружини протистояти не можуть. Реальні матеріали часто мають обидва типи жорсткості, причому згин домінує за низької зв'язності.

Гранулярні упаковки (пісок, гравій) поблизу точки джемінгу поводяться як випадкові мережі пружин. У точці джемінгу кожна гранула в середньому контактує рівно з z_c = 2d сусідами — мінімальною кількістю для граничної жорсткості. Модуль зсуву зникає в точці джемінгу і зростає як G ~ (z − z_c)^1 вище неї, що узгоджується з теорією мереж пружин.

Біополімерні волокнисті мережі (колаген, актин) різко зміцнюються за великої деформації — модуль пружності може зрости у 100 разів. Це зміцнення деформацією виникає тому, що спочатку floppy-мережі поступово стають жорсткими, оскільки деформація вирівнює зв'язки та вичерпує floppy-моди. Початок зміцнення відповідає переходу жорсткості, індукованому деформацією.