UK 
EnglishТипова
Polski🧲 Модель Ізінга — фазовий перехід
2D-модель Ізінга з алгоритмом Метрополіса. Перетніть критичну температуру Tc ≈ 2.269 і спостерігайте спонтанну появу феромагнітного порядку. Живі намагніченість, енергія, сприйнятливість і крива M(T) проти точного розв'язку Онсагера.
Про цю симуляцію
Ця симуляція запускає той самий 2D феромагнетик Ізінга, що й споріднена симуляція, але додає другу, відмінну особливість: живу криву намагніченість-температура, яка накладає ваші змодельовані дані на точний аналітичний розв'язок Онсагера 1944 року для нескінченної 2D-ґратки, m(T) для T < Tc. Кожен прохід Монте-Карло перевертає спіни за правилом Метрополіса min(1, e−ΔE/kBT), де ΔE = 2Jsᵢ(Σⱼsⱼ + H) — це енергетична ціна перевороту спіна i з урахуванням чотирьох сусідів та зовнішнього поля H. Спостереження за тим, як змодельовані точки сходяться до точної кривої Онсагера з ростом розміру ґратки, є прямою наочною демонстрацією одного з найвідоміших результатів статистичної механіки.
🔬 Що це показує
Жива спінова ґратка (синій = вгору, помаранчевий = вниз) поряд із графіком намагніченість-температура, що накладає вашу поточну симуляцію на теоретичну точну криву Онсагера. Нижче Tc ≈ 2.269 J/kB обидві мають узгоджуватися доволі точно (ефекти скінченного розміру спричиняють невеликі відхилення); поблизу Tc сприйнятливість різко зростає, а візерунок доменів демонструє масштабно-незалежну критичну опалесценцію.
🎮 Як користуватися
Повільно перетягуйте повзунок Temperature через 2.269, щоб побачити розпад порядку, або перейдіть одразу туди за допомогою пресету «At Tc». Зовнішнє поле H порушує симетрію вгору-вниз і прибирає різкий перехід; розмір ґратки N обмінює роздільність на різкіші, точніші переходи; Sweeps/frame керує швидкістю симуляції. Кнопки Randomise або Align миттєво скидають ґратку, а Pause зупиняє анімацію для перегляду.
💡 Чи знали ви?
Точний розв'язок Ларса Онсагера 1944 року дає спонтанну намагніченість нижче Tc як m = [1 − sinh⁻⁴(2J/kBT)]^(1/8) — результат у замкненому вигляді, отриманий за десятиліття до того, як хтось зміг чисельно змоделювати цю модель, і досі вважається одним із найвидатніших точних обчислень у всій фізиці.
Поширені запитання
Що таке точний розв'язок Онсагера і чому він важливий?
У 1944 році Ларс Онсагер вивів формулу у замкненому вигляді для вільної енергії та спонтанної намагніченості нескінченної 2D-моделі Ізінга без зовнішнього поля, строго довівши, що справжній фазовий перехід відбувається при Tc = 2J/(kB·ln(1+√2)) ≈ 2.2692 J/kB. Це залишається одним із дуже небагатьох точно розв'язаних взаємодіючих багаточастинкових моделей у статистичній механіці, і ця симуляція малює точну криву безпосередньо поряд із живими даними Монте-Карло, щоб ви могли побачити збіг теорії та симуляції.
Чому моя змодельована крива намагніченості не збігається ідеально з точною кривою Онсагера?
Розв'язок Онсагера точний лише в термодинамічній межі нескінченної ґратки. Будь-яка скінченна змодельована ґратка (навіть 200×200) демонструє ефекти скінченного розміру: згладжені переходи замість різкого зламу, залишкову намагніченість трохи вище нуля вище Tc та статистичний шум від обмеженої кількості проходів Монте-Карло. Збільшення повзунка Lattice size помітно наближає змодельовану криву до точної теоретичної.
Що робить алгоритм Метрополіса на кожному кроці?
Обирається випадковий спін, і обчислюється зміна енергії ΔE від його перевороту з урахуванням лише чотирьох найближчих сусідів та зовнішнього поля H. Якщо ΔE ≤ 0, переворот завжди приймається, оскільки знижує загальну енергію; якщо ΔE > 0, він приймається з ймовірністю exp(−ΔE/kBT). Багаторазове повторення цього по всій ґратці (один «прохід» на N² спроб) підводить систему до теплової рівноваги при температурі T.
Чому сприйнятливість так різко зростає біля Tc?
Сприйнятливість χ = N²(⟨m²⟩ − ⟨m⟩²)/kBT кількісно визначає, наскільки сильно коливається намагніченість системи. Точно при Tc спінові кореляції поширюються на всю ґратку, тож навіть невеликі теплові поштовхи спричиняють великі колективні коливання намагніченості, а χ розходиться в межі нескінченної ґратки як |T − Tc|^(−7/4). У скінченній змодельованій ґратці це проявляється як високий, але скінченний пік, а не справжня математична розбіжність.
Що станеться, якщо увімкнути зовнішнє поле H?
Ненульове H енергетично сприяє одній орієнтації спінів над іншою, порушуючи симетрію, яка робить перехід при H = 0 різким. При H ≠ 0 намагніченість змінюється плавно з температурою, і справжньої розривності похідних вільної енергії немає — різкий перехід другого роду існує лише точно вздовж лінії H = 0, закінчуючись у критичній точці (Tc, 0).