PL 
EnglishDomyślny
Українська🧲 Model Isinga — przejście fazowe
Model Isinga 2D z metodą Monte Carlo Metropolisa. Przekrocz temperaturę krytyczną Tc ≈ 2,269 i zobacz spontaniczne pojawienie się porządku ferromagnetycznego. Namagnesowanie, energia i podatność na żywo oraz krzywa M(T) zestawiona z dokładnym rozwiązaniem Onsagera.
O tej symulacji
Ta symulacja uruchamia ten sam dwuwymiarowy ferromagnetyk Isinga co jej bliźniacza symulacja, ale dodaje drugą, wyróżniającą cechę: aktualizowaną na żywo krzywą namagnesowania w funkcji temperatury, która nakłada Twoje symulowane dane na dokładne analityczne rozwiązanie Onsagera z 1944 roku dla nieskończonej sieci 2D, m(T) dla T < Tc. Każde przemiatanie Monte Carlo odwraca spiny zgodnie z regułą Metropolisa min(1, e−ΔE/kBT), gdzie ΔE = 2Jsi(Σⱼsⱼ + H) to koszt energetyczny odwrócenia spinu i, uwzględniający jego czterech sąsiadów i pole zewnętrzne H. Obserwowanie, jak symulowane punkty zbiegają do dokładnej krzywej Onsagera wraz ze wzrostem rozmiaru sieci, jest bezpośrednim, wizualnym dowodem jednego z najbardziej znanych wyników mechaniki statystycznej.
🔬 Co pokazuje
Sieć spinów aktualizowana na żywo (niebieski = w górę, pomarańczowy = w dół) obok wykresu namagnesowanie–temperatura, który nakłada Twoją bieżącą symulację na teoretyczną dokładną krzywą Onsagera. Poniżej Tc ≈ 2,269 J/kB obie krzywe powinny przebiegać blisko siebie (efekty skończonego rozmiaru powodują niewielkie odchylenia); w pobliżu Tc podatność gwałtownie rośnie, a wzór domen wykazuje bezskalową krytyczną opalescencję.
🎮 Jak korzystać
Przesuwaj suwak temperatury powoli przez wartość 2,269, aby obserwować zanik porządku, albo przejdź od razu do tego punktu za pomocą ustawienia „At Tc”. Pole zewnętrzne H łamie symetrię góra-dół i usuwa ostre przejście; rozmiar sieci N zamienia rozdzielczość na ostrzejsze, bardziej zbliżone do dokładnych przejścia; Sweeps/frame kontroluje szybkość symulacji. Przyciski Randomise lub Align natychmiast resetują sieć, a Pause zatrzymuje animację do obserwacji.
💡 Czy wiesz, że...
Dokładne rozwiązanie Larsa Onsagera z 1944 roku podaje spontaniczne namagnesowanie poniżej Tc jako m = [1 − sinh−4(2J/kBT)]1/8 — wynik w postaci zamkniętej uzyskany dekady przed tym, jak ktokolwiek mógł numerycznie symulować ten model, wciąż uznawany za jedno z najbardziej niezwykłych dokładnych obliczeń w całej fizyce.
Najczęściej zadawane pytania
Czym jest dokładne rozwiązanie Onsagera i dlaczego jest ono istotne?
W 1944 roku Lars Onsager wyprowadził zamknięte wyrażenie na energię swobodną i spontaniczne namagnesowanie nieskończonego dwuwymiarowego modelu Isinga bez pola zewnętrznego, rygorystycznie dowodząc, że prawdziwe przejście fazowe zachodzi przy Tc = 2J/(kB·ln(1+√2)) ≈ 2,2692 J/kB. Pozostaje to jednym z bardzo nielicznych dokładnie rozwiązanych oddziałujących modeli wielu ciał w mechanice statystycznej, a ta symulacja nakłada tę dokładną krzywą bezpośrednio na dane z symulacji Monte Carlo, dzięki czemu można zobaczyć zgodność teorii z symulacją.
Dlaczego moja symulowana krzywa namagnesowania nie pokrywa się dokładnie z dokładną krzywą Onsagera?
Rozwiązanie Onsagera jest dokładne wyłącznie w granicy termodynamicznej nieskończonej sieci. Każda skończona symulowana sieć (nawet 200×200) wykazuje efekty skończonego rozmiaru: zaokrąglone przejścia zamiast ostrego załamania, resztkowe namagnesowanie nieco powyżej zera powyżej Tc oraz szum statystyczny wynikający z ograniczonej liczby przemiatań Monte Carlo. Zwiększenie suwaka rozmiaru sieci wyraźnie wyostrza symulowaną krzywą w kierunku dokładnej krzywej teoretycznej.
Co robi algorytm Metropolisa w każdym kroku?
Losowo wybierany jest jeden spin, a zmiana energii ΔE wynikająca z jego odwrócenia obliczana jest na podstawie tylko czterech najbliższych sąsiadów oraz pola zewnętrznego H. Jeśli ΔE ≤ 0, odwrócenie jest zawsze akceptowane, ponieważ obniża energię całkowitą; jeśli ΔE > 0, jest akceptowane z prawdopodobieństwem exp(−ΔE/kBT). Powtarzanie tego wielokrotnie w całej sieci (jedno „przemiatanie” to N² prób) prowadzi układ do równowagi termicznej w temperaturze T.
Dlaczego podatność magnetyczna tak gwałtownie rośnie w pobliżu Tc?
Podatność χ = N²(⟨m²⟩ − ⟨m⟩²)/kBT określa, jak silnie fluktuuje namagnesowanie układu. Dokładnie w temperaturze Tc korelacje spinów obejmują całą sieć, więc nawet niewielkie fluktuacje termiczne wywołują duże, zbiorowe wahania namagnesowania, a χ rozbiega się w granicy nieskończonej sieci jak |T − Tc|^(−7/4). W skończonej symulowanej sieci objawia się to jako wysoki, lecz skończony pik, a nie prawdziwa matematyczna rozbieżność.
Co się dzieje, gdy włączę zewnętrzne pole H?
Niezerowe H energetycznie faworyzuje jedną orientację spinów względem drugiej, łamiąc symetrię, która sprawia, że przejście przy H = 0 jest ostre. Przy H ≠ 0 namagnesowanie zmienia się płynnie wraz z temperaturą i nie występuje prawdziwa nieciągłość pochodnych energii swobodnej — ostre przejście drugiego rodzaju istnieje wyłącznie dokładnie wzdłuż linii H = 0, kończąc się w punkcie krytycznym (Tc, 0).