Рівняння Шредінгера

Функція хвилі та правило Борна

Механіка квантова описує частинку не позицією та швидкістю, а комплекснозначною хвильовою функцією Ψ(x,t). Ψ сама по собі не є вимірюваною — лише |Ψ|², щільність ймовірності знаходження частинки в нескінченно малій області dx, має пряме фізичне значення:

ρ(x,t) = |Ψ(x,t)|² ∫ |Ψ|² dx = 1 // нормалізація — частинка десь // Правило Борна (Макс Борн, 1926): |Ψ|² є щільністю ймовірності, а не фізичною хвилею Якщо Ψ₁ та Ψ₂ є обома допустимими станами, то є також будь-яка лінійна комбінація c₁Ψ₁+c₂Ψ₂ — суперпозиція, джерело кожного квантового інтерференційного ефекту.

ρ(x,t) = |Ψ(x,t)|²
∫ |Ψ|² dx = 1          // normalisation — the particle is somewhere
// Born rule (Max Born, 1926): |Ψ|² is a probability density, not a physical wave

Рівняння самої

Рівняння Шредінгера 1926 року визначає, як Ψ змінюється з часом під дією гамільтоніана Ĥ, який об’єднує кінетичну та потенційну енергії:

iℏ ∂Ψ/∂t = ĤΨ = [ −ℏ²/(2m)·∂²/∂x² + V(x) ] Ψ // коли V є не залежним від часу, розв’язки розділяються: Ψ(x,t) = ψ(x)·e^(−iEt/ℏ) // залишаючи не залежне від часу рівняння Шредінгера (TISE), задачу власних значень:

Розв'язання TISE означає знаходження власні значення гамільтоніана E (допустимих енергій) та власні функції ψ(x) (стаціонарні стани) — все про незалежну від часу квантову систему зводиться до цієї однієї задачі власних значень.

iℏ ∂Ψ/∂t = ĤΨ = [ −ℏ²/(2m)·∂²/∂x² + V(x) ] Ψ
// when V is time-independent, solutions separate:
Ψ(x,t) = ψ(x)·e^(−iEt/ℏ)
// leaving the time-independent Schrödinger equation (TISE), an eigenvalue problem:
−ℏ²/(2m)·d²ψ/dx² + V(x)ψ = Eψ

Частинка в коробці: найпростіше точне рішення

Нескінченні стіни при x=0 та x=L змушують ψ(0)=ψ(L)=0, що дає стоячі хвилі з квантованою енергією:

ψ_n(x) = √(2/L)·sin(nπx/L), n = 1, 2, 3, … E_n = n²π²ℏ²/(2mL²) = n²·E₁ E₁ = π²ℏ²/(2mL²) // нульова енергія — заборонена Допускаються лише дискретні значення енергії; найнижче з них E₁ є строго позитивним, що безпосередньо свідчить про принцип невизначеності Гейзенберга, який забороняє замкненому частиці повністю зупинитися. Цей точний модель приблизно відповідає кон'югованим π-електронним системам в хімії та квантовим лазерам зпіввідразників.

ψ_n(x) = √(2/L)·sin(nπx/L),   n = 1, 2, 3, …
E_n = n²π²ℏ²/(2mL²) = n²·E₁
E₁ = π²ℏ²/(2mL²)          // zero-point energy — E=0 is forbidden

Тunnelлювання

Частинка з енергією E < V₀ все ще може проникнути через кінцевий бар’єр — це чисто квантовий ефект без класичного аналогія, оскільки рівняння Шредінгера все ще має дійсне (експоненціально спадно) рішення всередині забороненої класично області:

T = [ 1 + V₀²·sinh²(κa) / (4E(V₀−E)) ]⁻¹ // точний, прямокутний бар’єр шириною a κ = √(2m(V₀−E)) / ℏ // уявна хвильова довжина всередині бар’єра // WKB наближення для повільно змінюваного V(x): T ≈ exp( −2 ∫ κ(x) dx ), κ(x) = √(2m[V(x)−E]) / ℏ Тunnelлювання лежить в основі сканувальної мікроскопії Шредінгера, комірок пам’яті Flash, тунельних діодів, альфа розпаду та злиття протонів у ядрі Сонця, яке відбувається при температурах приблизно в десять разів нижчих, ніж вимагає класична фізика само по собі.

T = [ 1 + V₀²·sinh²(κa) / (4E(V₀−E)) ]⁻¹     // exact, rectangular barrier of width a
κ = √(2m(V₀−E)) / ℏ                          // imaginary wavenumber inside barrier
// WKB approximation for slowly-varying V(x):
T ≈ exp( −2 ∫ κ(x) dx ),  κ(x) = √(2m[V(x)−E]) / ℏ

Хвильові пакети та невизначеність

Локалізована частинка моделюється як гауссове хвильове пакування — суперпозиція плоских хвиль — яке розповсюджується в часі, оскільки кожен компонент імпульсу рухається зі своєї власної швидкості v = p/m:

Δx · Δp ≥ ℏ/2 // Принцип невизначеності Гейзенберга σ(t) = σ√(1 + (ℏt/(2mσ²))²) // Ширина пакета зростає з часом Це не твердження про порушення вимірювання — це вроджена властивість кожної хвильподібної системи: вузьке положення завжди супроводжується широким розкидом імпульсу. У цьому сайті симуляція хвильового пакування використовує метод роздільних кроків Фурієра, чергуючи оновлення між простором позицій та простором імпульсів на кожному кроці.

Δx · Δp ≥ ℏ/2                       // Heisenberg uncertainty principle
σ(t) = σ√(1 + (ℏt/(2mσ²))²)          // packet width grows with time

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.