Кюбіти та Квантові Шлюзи

Квантова затримка: базові поняття

Класичний біт представляє собою значення 0 або 1. Квантовий біт (кюбіт) – це нормалізована суперпозиція обох базисних станів з комплексними амплітудами: |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩, де |α|²+|β|² = 1. Фізично він може бути спіннем електрона, поляризацією фотона, енергетичним рівнем ув’язненого іона або станом «грунт-підвищений» надпровідного трансону – математика однакова незалежно від обладнання.

Сфера Блоха

Будь-який окремий квантовий стан (до незначної глобальної фази), відображається точно в один пункт на одиничному колі:

|ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ)·sin(θ/2)|1⟩ θ ∈ [0,π] — кут полярності: θ=0 є |0⟩ (північний полюс), θ=π є |1⟩ (южний полюс) φ ∈ [0,2π) — орієнтовний кут: екватор містить усі рівнозначні суперпозиції Кожен окремий квантовий гейт є обертанням цієї сфери — X є обертанням на 180° навколо осі x, Z є обертанням на 180° навколо осі z — що робить композицію гейтів геометрично інтуїтивною, а не виключно алгебраїчною.

|ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ)·sin(θ/2)|1⟩
  θ ∈ [0,π]  — polar angle:    θ=0 is |0⟩ (north pole), θ=π is |1⟩ (south pole)
  φ ∈ [0,2π) — azimuthal angle: equator holds all equal-weight superpositions

Одноклітинні квантові затури

Квантові затури — це однорідні матриці (U†U = I), які застосовуються до вектора амплітуди. Основний набір:

X = [0 1; 1 0]              // NOT gate: flips |0⟩↔|1⟩, 180° rotation about x
Z = [1 0; 0 -1]              // phase flip: Z|1⟩ = −|1⟩
H = (1/√2)·[1 1; 1 -1]       // Hadamard: H|0⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2 — the "quantum coin flip"
S = [1 0; 0 i]               // quarter-turn phase gate, S² = Z
T = [1 0; 0 e^(iπ/4)]        // eighth-turn phase gate, T⁴ = Z — key for fault tolerance

Вимірювання |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ в обчислювальному базисі призводить до його незворотного колапсу: результат 0 з ймовірністю |α|², результат 1 з ймовірністю |β|², і суперпозиція знищується в момент запису. Ця асиметрія між безперервним, зворотним еволюцією та статистичною, незворотною вимірюваністю є фундаментальною — і теорема про відсутність клонування гарантує, що невідоме квантове стани ніколи не можна буде ідеально скопіювати, основа для протоколів квантового розподілу ключів, таких як BB84.

Measuring |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ in the computational basis collapses it irreversibly: outcome 0 with probability |α|², outcome 1 with probability |β|², and the superposition is destroyed the instant a result is recorded. This asymmetry between unitary, reversible evolution and stochastic, irreversible measurement is fundamental — and the no-cloning theorem guarantees an unknown quantum state can never be perfectly copied, the basis for quantum-key-distribution protocols like BB84.

Два кубіти, CNOT та заплутаність

Два кубіти живуть у 4-вимірному тензорно-просторному просторі, α₀₀|00⟩+α₀₁|01⟩+α₁₀|10⟩+α₁₁|11⟩. Штука (gate) CNOT перевертає цільовий кубіт точно тоді, коли контрольний кубіт є |1⟩, і разом із однокубітовими штуками вона утворює універсальний набір штук — будь-який квантовий ланцюжок може бути побудований лише з цих двох компонентів. Станом є заплутаним, якщо його неможливо розкласти на добуток окремих кубітів; чотири максимально заплутані Bell-стани будуються від Hadamard, слідом за CNOT:

|Φ+⟩ = (|00⟩ + |11⟩)/√2
// circuit: H(qubit 0) → CNOT(control=0, target=1), starting from |00⟩

Моделювання схеми: підхід із квантовим станом

А квантовий симулятор представляє повний стан n кубітів як 2ⁿ комплексних амплітуд і застосовує кожен гейт як матричну операцію, торкаючись лише пар амплітуд, які відрізняються в цільовому біті кубіта:

class QuantumCircuit {
  constructor(n) {
    this.n = n;
    const dim = 1 << n;
    this.re = new Float64Array(dim);
    this.im = new Float64Array(dim);
    this.re[0] = 1;                    // start in |00…0⟩
  }
  H(q) {                                // apply Hadamard to qubit q
    const bit = 1 << q, s = 1/Math.sqrt(2);
    for (let i = 0; i < this.re.length; i++) {
      if (i & bit) continue;
      const j = i | bit;
      const r0=this.re[i], r1=this.re[j];
      this.re[i] = s*(r0+r1); this.re[j] = s*(r0-r1);
    }
  }
  CNOT(ctrl, tgt) {                     // flip target iff control bit is 1
    const cb = 1<
    
З воріт до реальних алгоритмів
    
Гроверів пошук знаходить позначений елемент серед N за O(√N) запитів, що є квадратною швидкістю над класичним пошуком. Алгоритм Шора факторизує цілі числа за поліномний час, використовуючи квантову перетворення Фурієра, яке є теоретичною основою довгострокової загрози для шифрування RSA. Процесор Google Sycamore виконав конкретне завдання з семплювання в 200 секунд, яке оцінювалося як те, що класичному суперкомп'ютеру знадобиться приблизно 10 000 років — реальне обладнання, але все ще фундаментально обмежене декогеренцією та потребує приблизно 1000 фізичних кубітів на поправлений логічний кубіт.
    
Часті запитання
    

      
Що насправді показує сфера Блоха?
      
Будь-який окремий біт стану (single-qubit state), до незначної глобальної фази, відображається точно в один пункт на одиничному колі: північний полюс відповідає |0⟩, південний полюс – |1⟩, а кожен пункт на екваторі є рівночасною суперпозицією обох станів з різною відносною фазою. Кожен окремий біт (single-qubit gate) потім просто являє собою обертання цієї сфери, що робить композицію гейтів інтуїтивно зрозумілою.
    
    

      
Чому CNOT такий важливий, якщо він лише умовним чином перевертає біт?
      
Тому що CNOT, поєднаний з будь-якими окремими бітами (single-qubit gates), формує універсальний набір гейтів — будь-яке квантове обчислення може бути розкладено на обертання окремих бітів плюс CNOT. Це також найпростіший гейт, який створює заплутування між двома незалежними кубітами, тому схеми для Bell states та GHZ states завжди починаються з Hadamard та одного або кількох CNOT.
    
    

      
Чи дозволяє заплутане вимірювання надсилати інформацію швидше за світло?
      
Ні. Вимірювання однієї половини пари заплутаних кубітів миттєво визначає розподіл ймовірностей для іншої, і це порушує нерівності Bell — виключаючи локальні приховані змінні, що було підтверджено експериментально Аланом Ейкстеном та його колегами (Нобелівська премія 2022 року). Але результат на кожному боці все ще випадковий, і порівняння результатів для виявлення кореляції потребує звичайного класичного каналу зв’язку, тому жодного сигналу, що передається швидше за світло, не надсилається.
    
    
Спробуйте наживо
    
Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.
    ▶ Відкрити симуляцію the simulation