Równanie Schrödingera

Funkcja falowa i zasada Born

Mechanika kwantowa opisuje cząstek nie za pomocą położenia i prędkości, lecz za pomocą funkcji fal o wartości zespolonej Ψ(x,t). Funkcja ta sama w sobie nie jest obserwowalna – znaczeniem fizycznym ma jedynie |Ψ|², czyli gęstość prawdopodobieństwa znalezienia się cząstki w małym przedziale dx:

ρ(x,t) = |Ψ(x,t)|² ∫ |Ψ|² dx = 1 // normalizacja – cząstka jest gdzieś // Zasada Born (Max Born, 1926): |Ψ|² jest gęstością prawdopodobieństwa, a nie falą fizyczną Jeśli Ψ₁ i Ψ₂ są obydwoma ważnymi stanami, to także dowolna kombinacja liniowa c₁Ψ₁+c₂Ψ₂ – superpozycja, źródło każdego efektu interferencji kwantowej.

ρ(x,t) = |Ψ(x,t)|²
∫ |Ψ|² dx = 1          // normalisation — the particle is somewhere
// Born rule (Max Born, 1926): |Ψ|² is a probability density, not a physical wave

Równanie samo w sobie

Równanie Schrödingera z 1926 roku określa, jak Ψ zmienia się w czasie pod działaniem operatora Hamiltona Ĥ łączącego energię kinetyczną i potencjalną:

iℏ ∂Ψ/∂t = ĤΨ = [ −ℏ²/(2m)·∂²/∂x² + V(x) ] Ψ // gdy V jest niezależne od czasu, rozwiązania oddzielają się: Ψ(x,t) = ψ(x)·e^(−iEt/ℏ) // pozostawiając równanie Schrödingera czasowo niezależne (TISE), problem własny wartości: −ℏ²/(2m)·d²ψ/dx² + V(x)ψ = Eψ Rozwiązanie TISE oznacza znajdowanie wartości własnych operatora Hamiltona E (dozwolone energie) i funkcji własnych ψ(x) (stanów stacjonarnych) — wszystko o niezależnym od czasu systemie kwantowym sprowadza się do tego jednego problemu własnego wartości.

iℏ ∂Ψ/∂t = ĤΨ = [ −ℏ²/(2m)·∂²/∂x² + V(x) ] Ψ
// when V is time-independent, solutions separate:
Ψ(x,t) = ψ(x)·e^(−iEt/ℏ)
// leaving the time-independent Schrödinger equation (TISE), an eigenvalue problem:
−ℏ²/(2m)·d²ψ/dx² + V(x)ψ = Eψ

Cząstka w pudełku: najprostsze dokładne rozwiązanie

Nieograniczone ściany przy x=0 i x=L zmuszają ψ(0)=ψ(L)=0 do uzyskania ugruntowanych rozwiązań falowych z kwantyzowaną energią:

ψ_n(x) = √(2/L)·sin(nπx/L), n = 1, 2, 3, … E_n = n²π²ℏ²/(2mL²) = n²·E₁ E₁ = π²ℏ²/(2mL²) // energia punktu zero — E=0 jest zabronione Dopuszczane są jedynie dyskretne poziomy energii; najniższy z nich, E₁, jest ściśle dodatni, co stanowi bezpośrednie odzwierciedlenie zasady niepewności Heisenberga, która zabraniazą uwiężonej cząstce nieruchomego położenia. To dokładny model aproksymuje sprzężone π-systemy elektronowe w chemii i laserów półprzewodnikowych w kanałach.

ψ_n(x) = √(2/L)·sin(nπx/L),   n = 1, 2, 3, …
E_n = n²π²ℏ²/(2mL²) = n²·E₁
E₁ = π²ℏ²/(2mL²)          // zero-point energy — E=0 is forbidden

Kwantowe tunelowanie

Cząstka o energii E < V₀ może nadal przeniknąć barierę, jeśli jest to efekt czysto kwantowy bez analogii klasycznej, ponieważ równanie Schrödingera nadal ma poprawne (eksponencjalnie zanikające) rozwiązanie w obszarze zabronionym dla klasycznego mechanizmu:

T = [ 1 + V₀²·sinh²(κa) / (4E(V₀−E)) ]⁻¹ // dokładny, prostokątny barierę o szerokości a κ = √(2m(V₀−E)) / ℏ // wyobrażony współczynnik falowy wewnątrz bariery // Przybliżenie WKB dla wolno zmieniających się V(x): T ≈ exp( −2 ∫ κ(x) dx ), κ(x) = √(2m[V(x)−E]) / ℏ Tunelowanie leży u podstaw skaningu mikroskopii tunelowej, ogniw pamięci flash, diod tunelowych, rozpadu alfa i fuzji proton-proton w jądrze słonecznym, która zachodzi przy temperaturach rzędu dziesięciu razy niższych niż to, co wymagałoby klasyczna fizyka.

T = [ 1 + V₀²·sinh²(κa) / (4E(V₀−E)) ]⁻¹     // exact, rectangular barrier of width a
κ = √(2m(V₀−E)) / ℏ                          // imaginary wavenumber inside barrier
// WKB approximation for slowly-varying V(x):
T ≈ exp( −2 ∫ κ(x) dx ),  κ(x) = √(2m[V(x)−E]) / ℏ

Pakietki falowe i niepewność

Lokalizowany cząstek jest modelowany jako pakiet fali Gaussa – superpozycja fal płaskich – który rozprzestrzenia się w czasie, ponieważ każdy składnik pędowy porusza się z własną prędkością v = p/m:

Δx · Δp ≥ ℏ/2 // Zasada nieoznościwości Heisenberga σ(t) = σ√(1 + (ℏt/(2mσ²))²) // Szerokość pakietu wzrasta z czasem Nie jest to stwierdzenie o zakłóceniach pomiarowych – jest to wrodzona właściwość każdego systemu falowego: wąskie rozłożenie położenia musi nieuchronnie wiązać się z szerokim rozrzutem pędów. Symulacja pakietów fal na tym koncie wykorzystuje metodę split-step Fourier, alternując aktualizacje między przestrzenią położeniową a przestrzenią pędową w każdym kroku.

Δx · Δp ≥ ℏ/2                       // Heisenberg uncertainty principle
σ(t) = σ√(1 + (ℏt/(2mσ²))²)          // packet width grows with time

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz the simulation i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.