iℏ ∂ψ/∂t = Ĥψ

📖 Розшифрування символів

Повна форма рівняння

iℏ ∂ψ(r,t)/∂t = Ĥ ψ(r,t) залежне від часу рівняння Шредінгера в загальному вигляді

Символ	Назва	Пояснення
`i`	Уявна одиниця	i² = −1; вказує на хвильову природу квантової механіки
`ℏ`	Редукована стала Планка	ℏ = h/(2π) ≈ 1.055×10⁻³⁴ Дж·с
`ψ(r,t)`	Хвильова функція	Комплекснозначна функція; \|ψ\|² — ймовірність знайти частинку в точці r
`∂/∂t`	Часткова похідна по t	Зміна хвильової функції з часом
`Ĥ`	Оператор Гамільтона	Відповідає повній енергії системи: Ĥ = T̂ + V̂
`T̂`	Оператор кінетичної енергії	T̂ = −ℏ²/(2m) · ∇²
`V̂`	Оператор потенціальної енергії	V̂ = V(r) — залежить від задачі
`∇²`	Оператор Лапласа	∇² = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²

Явний вигляд для однієї частинки

iℏ ∂ψ/∂t = [−ℏ²/2m · ∇² + V(r,t)] ψ m — маса частинки, V(r,t) — потенціальна енергія

В одному вимірі:

iℏ ∂ψ/∂t = −ℏ²/2m · ∂²ψ/∂x² + V(x,t)·ψ

🎲 Хвильова функція та імовірнісна інтерпретація

Борнівська інтерпретація

Хвильова функція ψ сама по собі не має прямого фізичного сенсу, але |ψ(r,t)|² — це щільність імовірності знайти частинку в точці r у момент t:

P(r,t) = |ψ(r,t)|² = ψ* · ψ ψ* — комплексно спряжена функція

📐 Умова нормування

Оскільки частинка має бути десь у просторі, інтеграл ймовірності по всьому простору дорівнює 1: ∫|ψ|² d³r = 1

⚡ Стаціонарне рівняння Шредінгера

Розділення змінних

Якщо потенціал V не залежить від часу, хвильова функція розкладається як ψ(r,t) = φ(r)·e^−iEt/ℏ, і часова частина відокремлюється. Отримуємо стаціонарне рівняння Шредінгера:

Ĥ φ(r) = E · φ(r) завдання на власні значення: E — енергія, φ(r) — стаціонарний стан

В одному вимірі:

−ℏ²/2m · d²φ/dx² + V(x)·φ = E·φ

Фізичний сенс

Стаціонарні стани — це квантові стани з визначеною енергією E. В атомі водню рішення дають дискретний спектр рівнів: E_n = −13.6 еВ / n².

Вимірювання енергії дасть одне з допустимих значень E_n — це пояснює квантування енергії.

✏️ Класичні задачі квантової механіки

📌 Приклад 1: Частинка в нескінченно глибокій ямі (1D)

Частинка в ящику шириною L: V=0 при 0<x<L, V=∞ поза ним.

Рівняння: −ℏ²/2m · d²φ/dx² = E·φ при 0<x<L

Граничні умови: φ(0)=φ(L)=0 → рішення: φ_n(x) = √(2/L)·sin(nπx/L)

Дискретні рівні енергії:

E_n = n²π²ℏ² / (2mL²), n = 1, 2, 3, …

E_n = n²·E₁, де E₁ = π²ℏ²/(2mL²) — нульова енергія

📌 Приклад 2: Рівні енергії атома водню

Кулонівський потенціал V = −e²/(4πε₀r). Знайти допустимі значення енергії.

Рішення стаціонарного рівняння Шредінгера для задачі двох тіл дає:

E_n = −13.6 еВ / n², n = 1, 2, 3, …

Основний стан (n=1): E₁ = −13.6 еВ — мінімальна енергія електрона

E_n = −13.6 / n² (еВ) — пояснює спектр водню

📌 Приклад 3: Квантовий осцилятор

V = ½mω²x². Знайти рівні енергії квантового гармонічного осцилятора.

Розв'язок через поліноми Ерміта:

E_n = ℏω(n + ½), n = 0, 1, 2, …

При n=0: E₀ = ½ℏω — "нульові коливання" (навіть у основному стані є енергія!).

E_n = ℏω(n + ½) — рівномірний спектр з кроком ℏω

⬆️ Перші енергетичні рівні в ямі (E₁ = 1)

n = 1E₁ = 1·E₁Основний стан n = 2E₂ = 4·E₁1-й збуджений n = 3E₃ = 9·E₁2-й збуджений n = 4E₄ = 16·E₁3-й збуджений n = 5E₅ = 25·E₁4-й збуджений

🚇 Тунельний ефект

Квантове тунелювання

Класично частинка не може подолати бар'єр вищий за її енергію. Квантово — хвильова функція екпоненціально загасає в бар'єрі, але не обнуляється:

ψ ∝ e^−κx, де κ = √(2m(V−E))/ℏ ψ за бар'єром ≠ 0 → є ймовірність пройти "крізь" бар'єр

📡 Реальні приклади тунелювання

Тунельний мікроскоп (STM) — вимірює тунельний струм між голкою і поверхнею;
Ядерний синтез у зірках — протони долають кулонівський бар'єр завдяки тунелюванню;
Транзистори — тунелювання електронів обмежує мінімальний розмір транзистора.

🌍 Застосування квантової механіки

💻 Напівпровідники

Зонна структура кристалів, транзистори, діоди — все базується на стаціонарному рівнянні Шредінгера для пе ріодичного потенціалу.

⚛️ Хімічний зв'язок

Молекулярні орбіталі, валентна теорія, хімічні реакції — квантова хімія будується на рівнянні Шредінгера для молекул.

🔭 Лазери

Дискретні рівні енергії атомів → спонтанне та вимушене випромінювання → принцип дії лазера та LED.

🏥 МРТ

Ядерний магнітний резонанс — квантово-механічне прецесування спінів ядер у магнітному полі. Основа медичної томографії.

⚛️ Квантова механіка — формули → ⚡ Рівняння Максвелла →

Спробуйте наживо

Дослідіть пов'язану модель на практиці: відкрийте Quantum Lab – Schrödinger Equation Simulation і змінюйте параметри під час роботи. Усе лишається у вашому браузері.

▶ Відкрити симуляцію Quantum Lab – Schrödinger Equation Simulation

Рівняння Шредінгера