Теорема Піфагора

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Одна з найдавніших і найзастосованіших теорем геометрії.

mysimulator teamОновлено 2026≈ 3 хв читання▶ Open the simulation

a² + b² = c²

📖 Формулювання та позначення

Основна теорема

У прямокутному трикутнику ABC, де кут C = 90°:

a² + b² = c² a, b — катети (сторони, що утворюють прямий кут); c — гіпотенуза (сторона напроти прямого кута)

Звідси три форми:

c = √(a² + b²) — знайти гіпотенузу
a = √(c² − b²) — знайти катет a
b = √(c² − a²) — знайти катет b

Обернена теорема Піфагора

Якщо в трикутнику зі сторонами a, b, c виконується рівність a² + b² = c², то цей трикутник є прямокутним (кут напроти сторони c = 90°). Використовується для перевірки, чи є трикутник прямокутним.

🔎 Класичне доведення (площа)

Доведення через квадрати

Побудуємо квадрат зі стороною (a+b). Всередині розмістимо 4 конгруентних прямокутних трикутники з катетами a, b та гіпотенузою c.

Площа великого квадрату: (a+b)² = a² + 2ab + b²

Площа 4 трикутників: 4 · (ab/2) = 2ab

Площа внутрішнього квадрату зі стороною c: (a+b)² − 2ab = c²

Отже: a² + 2ab + b² − 2ab = c² → a² + b² = c² ✓

🎯 Піфагорові трійки

Цілочисельні рішення a² + b² = c²:

3, 4, 59+16=25 5, 12, 1325+144=169 8, 15, 1764+225=289 7, 24, 2549+576=625 20, 21, 29400+441=841 9, 40, 4181+1600=1681 6, 8, 10кратна 3-4-5 12, 16, 20кратна 3-4-5

Загальна формула: a = m²−n², b = 2mn, c = m²+n², де m > n > 0.

✏️ Приклади розрахунків

📌 Приклад 1: Знайти гіпотенузу

Катети прямокутного трикутника: a = 3 см, b = 4 см. Знайти гіпотенузу.

c = √(a² + b²) = √(9 + 16) = √25 = 5 см

c = 5 см (Піфагорова трійка 3-4-5)

📌 Приклад 2: Знайти катет

Гіпотенуза c = 13 см, один катет b = 5 см. Знайти другий катет.

a = √(c² − b²) = √(169 − 25) = √144 = 12 см

a = 12 см

📌 Приклад 3: Діагональ кімнати

Кімната 5 × 12 м. Яка довжина діагоналі?

d = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 м

Діагональ = 13 м

🌍 Застосування

🏗️ Будівництво

Перевірка прямих кутів (3-4-5), розрахунок діагоналей, висот, нахилів. Будівельники використовують трійку 3-4-5 для перевірки прямого кута.

🛰️ GPS та навігація

Відстань між двома точками в 2D і 3D: d = √(Δx²+Δy²+Δz²). Основа алгоритмів навігації.

💻 Комп'ютерна графіка

Евклідова відстань між пікселями, нормалізація векторів, колізії об'єктів у 2D/3D грі.

⚡ Електротехніка

Повний опір |Z| = √(R²+X²) у колах змінного струму. Вектор с — повний опір (імпеданс).

🧮 Калькулятор теореми Піфагора → 📖 Стаття: 370 доведень та GPS →

Спробуйте наживо

Дослідіть пов'язану модель на практиці: відкрийте Pythagorean Theorem Simulator і змінюйте параметри під час роботи. Усе лишається у вашому браузері.

▶ Відкрити симуляцію Pythagorean Theorem Simulator