Simulating Quantum Entanglement

Kwantowa cząstka: dwie amplitudy, jedna zasada prawdopodobieństwa

Klasowy bit przyjmuje wartość 0 lub 1. Kwantowa cząstka to znormalizowana superpozycja obu stanów bazowych z amplitudami zespolonymi: |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩, gdzie |α|²+|β|² = 1. Fizycznie może to być spin elektronu, polaryzacja fotonu, dwa poziomy energetyczne uwięzionego jonu lub stan podstawowy/podwyższony stanu transmonu nadprzewodowego – matematyka jest identyczna niezależnie od sprzętu.

Sfera Blocha

Każdy pojedynczy stan kwitowego kubitu, do nieznačnej globalnej fazy, mapuje się dokładnie na jeden punkt na sferze jednostkowej: |ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ)·sin(θ/2)|1⟩ θ ∈ [0,π] — kąt podługowy: θ=0 odpowiada |0⟩ (północny punkt biegunowy), a θ=π odpowiada |1⟩ (południowy punkt biegunowy) φ ∈ [0,2π) — kąt azymutalny: równik reprezentuje wszystkie superpozycje o równej wadze Każde pojedyncze działanie kwitowe jest obrotem tej sfery – X to 180° obrót wokół osi x, a Z to 180° obrót wokół osi z – co sprawia, że składanie operacji jest intuicyjne pod względem geometrycznym, a nie tylko algebraiczne.

|ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ)·sin(θ/2)|1⟩
  θ ∈ [0,π]  — polar angle:    θ=0 is |0⟩ (north pole), θ=π is |1⟩ (south pole)
  φ ∈ [0,2π) — azimuthal angle: equator holds all equal-weight superpositions

Jednostronne bramki kwantowe

Bramki kwantowe są macierzami jednorodnymi (U†U = I) stosowanymi do wektora amplitud. Podstawowy zestaw:

X = [0 1; 1 0]              // NOT gate: flips |0⟩↔|1⟩, 180° rotation about x
Z = [1 0; 0 -1]              // phase flip: Z|1⟩ = −|1⟩
H = (1/√2)·[1 1; 1 -1]       // Hadamard: H|0⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2 — the "quantum coin flip"
S = [1 0; 0 i]               // quarter-turn phase gate, S² = Z
T = [1 0; 0 e^(iπ/4)]        // eighth-turn phase gate, T⁴ = Z — key for fault tolerance

Pomiar i zasada Borna

Pomiar stanu |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ w bazie obliczeniowej powoduje jego nieodwracalne zapadnięcie: wynik 0 z prawdopodobieństwem |α|², wynik 1 z prawdopodobieństwem |β|² oraz niszczy się superpozycja natychmiast po zarejestrowaniu wyniku. Ta asymetria pomiędzy jednorodnym, odwracalnym ewolucją a stochastycznym, nieodwracalnym pomiarem jest fundamentalna – a twierdzenie o braku klonowania gwarantuje, że stan kwantowy o nieznanej wartości nigdy nie może być idealnie skopiowany, co stanowi podstawę dla protokołów dystrybucji kluczy kwantowych takich jak BB84.

Dwa kwanty, brána CNOT i splątanie

Dwa kwanty żyją w przestrzeni tensorowej-iloczynowej o wymiarze 4, czyli α₀₀|00⟩+α₀₁|01⟩+α₁₀|10⟩+α₁₁|11⟩. Brána CNOT odwraca stan docelowego kwantu dokładnie wtedy, gdy stan kontrolnego kwantu wynosi |1⟩, a w połączeniu z bramami jednokwantowymi tworzy zestaw bramek uniwersalnych – dowolny obwód kwantowy można zbudować wyłącznie z tych dwóch składników. Stan jest splątany, jeśli nie może być rozłożony na iloczyn stanów indywidualnych kwantów; cztery maksymalnie splątane stany Bellowe są budowane z zastosowania bramy Hadamarda połączonej z brą CNOT.

|Φ+⟩ = (|00⟩ + |11⟩)/√2
// circuit: H(qubit 0) → CNOT(control=0, target=1), starting from |00⟩

Symulacja obwodu: podejście wektorowe stanu

Symulator wektorowy reprezentuje pełny stan n-kwantowego układu jako 2ⁿ amplitud zespolonych i aplikuje każdy element sterujący jako operację macierzową, wpływając jedynie na pary amplitud, w których różnią się wartości bitów docelowej kwantowej.

class QuantumCircuit {
  constructor(n) {
    this.n = n;
    const dim = 1 << n;
    this.re = new Float64Array(dim);
    this.im = new Float64Array(dim);
    this.re[0] = 1;                    // start in |00…0⟩
  }
  H(q) {                                // apply Hadamard to qubit q
    const bit = 1 << q, s = 1/Math.sqrt(2);
    for (let i = 0; i < this.re.length; i++) {
      if (i & bit) continue;
      const j = i | bit;
      const r0=this.re[i], r1=this.re[j];
      this.re[i] = s*(r0+r1); this.re[j] = s*(r0-r1);
    }
  }
  CNOT(ctrl, tgt) {                     // flip target iff control bit is 1
    const cb = 1<
    
Od bramek do rzeczywistych algorytmów
    
Algorytm Grovera znajduje oznaczony element spośród N w O(√N) zapytaniach, co daje kwadratowe przyspieszenie w porównaniu z klasycznym wyszukiwaniem. Algorytm Szตราa rozkłada liczby całkowite na czynniki w czasie wielomianowym, wykorzystując transformatę fourierowską kwantową, która stanowi teoretyczną podstawę długotrwałego zagrożenia dla szyfrowania RSA. Procesor Sycamore Google wykonał specyficzną próbkę w 200 sekund, co było szacowane na około 10 000 lat dla klasycznej superkomputera – rzeczywiste sprzężenie, ale nadal fundamentalnie ograniczone przez dekoherencję i wymagające około 1000 kubitów fizycznych na jeden poprawiony błąd kubitu logicznego.
    
Często zadawane pytania
    

      
Co w rzeczywistości pokazuje sfera Blocha?
      
Stan pojedynczego kubita, do niezbyt istotnej globalnej fazy, mapuje się dokładnie na jeden punkt na sferze jednostkowej: biegun północny to |0⟩, biegun południowy to |1⟩, a każdy punkt równikowy jest równoważną superpozycją obu stanów z różną faza względną. Każdy pojedynczy kubitowy element sterujący jest wtedy po prostu obrotem tej sfery, co sprawia, że składanie operacji jest intuicyjne pod względem geometrycznym.
    
    

      
Dlaczego CNOT jest tak ważny, skoro tylko warunkowo odwraca bit?
      
Ponieważ CNOT, połączony z dowolnymi kubitowymi elementami sterującymi, tworzy uniwersalny zestaw operacji — każdy możliwy proces obliczeń kwantowych można rozłożyć na obroty wokół pojedynczych kubitów plus CNOTy. Jest to również najprostsza operacja, która tworzy splątanie między dwoma wcześniej niezależnymi kubitami, dlatego też obwody dla stanów Bell i stanów GHZ zawsze zaczynają się od Hadamarda połączonego z jednym lub wieloma CNOTami.
    
    

      
Czy pomiar splątany pozwala na wysyłanie informacji szybciej niż światło?
      
Nie. Pomiar jednej połówki pary splątanej natychmiast określa rozkład prawdopodobieństwa dla drugiej, a to narusza nierówności Bell — wykluczając wyjaśnienia lokalnych zmiennych ukrytych, potwierdzone eksperymentalnie przez Alaina Aspecta i współpracowników (Nagroda Nobla 2022). Jednak wynik po każdej stronie jest nadal losowy, a porównanie wyników w celu zauważenia korelacji wymaga zwykłego kanału komunikacji klasycznej, więc nigdy nie przesyłany jest sygnał szybniejszy niż światło.
    
    
Wypróbuj na żywo
    
Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz the simulation i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.
    ▶ Otwórz symulację the simulation