Теперішня вартість (Present Value)

Q: Що таке теперішня вартість (Present Value)?

Теперішня вартість (PV) — це сума грошей сьогодні, яка еквівалентна певній сумі, отриманій у майбутньому, з урахуванням того, що гроші можуть заробляти дохід з часом. Вона показує, скільки варта майбутня сума грошей у сьогоднішніх цінах.

Q: Яка формула теперішньої вартості і як вона пов'язана зі складними відсотками?

Формула: PV = FV / (1+r)^n. Вона є оберненою до формули складних відсотків FV = PV·(1+r)^n — якщо там ми нарощуємо капітал у майбутнє, то тут ділимо, щоб привести майбутню суму до сьогодення (дисконтування).

Q: Чому ставка дисконтування (r) так сильно впливає на результат?

Ставка дисконтування відображає альтернативну вартість грошей (opportunity cost) та ризик: чим вища ставка, тим більше упущеної вигоди чи ризику закладено, тому теперішня вартість тієї ж майбутньої суми зменшується. Ставка також підвищується разом із кількістю періодів (n) — довший горизонт дисконтується сильніше.

Q: Що таке NPV (чиста теперішня вартість) і як вона використовується?

NPV = Σ [CFt / (1+r)^t] − початкові інвестиції. Це сума теперішніх вартостей усіх майбутніх грошових потоків проєкту за вирахуванням початкових витрат. Якщо NPV > 0, проєкт створює вартість і вважається прийнятним; якщо NPV < 0 — проєкт збитковий за цією ставкою дисконтування.

Q: У чому різниця між теперішньою (PV) та майбутньою (FV) вартістю?

FV (майбутня вартість) показує, скільки коштуватиме сьогоднішня сума через n періодів при нарахуванні відсотків. PV (теперішня вартість) — це обернена дія: скільки варта сьогодні сума, яку ви отримаєте в майбутньому. FV рухається вперед у часі, PV — назад.

PV = FV / (1 + r) n

📖 Формула та параметри

Що означає теперішня вартість

PV = FV / (1 + r)ⁿ де: PV — теперішня вартість; FV — майбутня вартість; r — ставка дисконтування за період; n — кількість періодів

PV (Present Value) — сума грошей сьогодні, еквівалентна майбутній сумі з урахуванням дисконту
FV (Future Value) — відома сума, яку буде отримано або сплачено через n періодів
r — ставка дисконтування за період (у десятковій формі): відображає альтернативну дохідність або вартість капіталу
n — кількість періодів (років, кварталів, місяців) до отримання FV

Ключова ідея — часова вартість грошей: сума грошей, яку ви маєте зараз, коштує більше за таку ж суму в майбутньому, тому що (1) її можна інвестувати й отримати дохід, і (2) інфляція з часом знецінює купівельну спроможність грошей. Дисконтування — це процес переведення майбутньої суми в еквівалент сьогоднішньої вартості.

PV як обернена формула складних відсотків

FV = PV · (1 + r)ⁿ → PV = FV / (1 + r)ⁿ Ділимо обидві частини рівняння складних відсотків на (1+r)ⁿ

Формула складних відсотків показує, у скільки перетвориться сьогоднішня сума PV через n періодів при ставці r: FV = PV·(1+r)ⁿ. Щоб виконати обернену дію — дізнатися, скільки варта сьогодні відома майбутня сума FV — ділимо обидві сторони рівняння на (1+r)ⁿ:

FV = PV·(1+r)ⁿ ⟹ FV / (1+r)ⁿ = PV·(1+r)ⁿ / (1+r)ⁿ ⟹ PV = FV / (1+r)ⁿ

Множник 1/(1+r)ⁿ називають коефіцієнтом дисконтування — він завжди менший за 1 (при r > 0), тому PV завжди менша за FV.

Як PV змінюється зі зростанням r та n (при FV = 1000)

Ставка r	n = 5 років	n = 10 років	n = 20 років
5%	783.53	613.91	376.89
10%	620.92	385.54	148.64

Правило: при фіксованій FV теперішня вартість зменшується і зі збільшенням ставки дисконтування r, і зі збільшенням кількості періодів n. Це логічно — чим довший строк очікування або чим вища альтернативна дохідність, тим менше сьогодні варта майбутня сума.

⚡ NPV — чиста теперішня вартість

Формула NPV для кількох грошових потоків

NPV = Σ [CF_t / (1 + r)^t] − Початкові інвестиції

NPV підсумовує теперішню вартість усіх майбутніх грошових потоків (CFt) проєкту за різні періоди t, а потім віднімає початкові вкладення. Якщо NPV > 0 — проєкт вигідний за цієї ставки дисконтування; якщо NPV < 0 — проєкт не окупається.

Логіка NPV-аналізу

На відміну від простої формули PV (один майбутній платіж), реальні інвестиційні проєкти генерують серію грошових потоків у різні роки. Кожен окремий потік CFt дисконтується до теперішньої вартості за власний період t, після чого всі теперішні вартості додаються. Отримана сума порівнюється з початковими інвестиціями — різниця і є чистою теперішньою вартістю (Net Present Value).

✏️ Приклади

📌 Приклад 1: Разова майбутня виплата

Через 5 років ви отримаєте 10 000 $. Ставка дисконтування — 8% річних. Яка теперішня вартість цієї суми?

FV = 10000, r = 0.08, n = 5

PV = 10000 / (1 + 0.08)^5 = 10000 / 1.08^5

1.08^5 ≈ 1.46933

PV = 10000 / 1.46933 ≈ $6 805.83

PV ≈ $6 805.83 (сьогоднішній еквівалент 10 000 $ через 5 років)

📌 Приклад 2: Оцінка облігації з одним платежем

Облігація виплатить 5 000 $ номіналу через 3 роки. Ринкова ставка дисконтування — 6%. Скільки варта облігація сьогодні?

FV = 5000, r = 0.06, n = 3

PV = 5000 / (1.06)^3 = 5000 / 1.191016

PV ≈ $4 198.10

PV ≈ $4 198.10 (справедлива ціна облігації сьогодні)

📌 Приклад 3: Ціль накопичення (зворотний розрахунок)

Ви хочете мати 50 000 $ через 10 років на першовнесок за житло. Очікувана дохідність вкладень — 5% річних. Скільки потрібно інвестувати сьогодні одноразово?

FV = 50000, r = 0.05, n = 10

PV = 50000 / (1.05)^10 = 50000 / 1.628895

PV ≈ $30 695.66

PV ≈ $30 695.66 (необхідна сума сьогоднішньої інвестиції)

🎯 Застосування

📊 Оцінка інвестиційних проєктів (NPV)

Компанії дисконтують очікувані майбутні грошові потоки проєкту, щоб порівняти їх із початковими витратами й вирішити, чи варто інвестувати.

💵 Ціноутворення облігацій

Справедлива ціна облігації — це сума теперішніх вартостей усіх майбутніх купонних виплат і номіналу, дисконтованих за ринковою ставкою.

🏖️ Пенсійне планування

Щоб визначити, скільки треба відкладати сьогодні для досягнення майбутньої пенсійної цілі, майбутню потребу в коштах дисконтують до теперішньої вартості.

⚖️ Порівняння кредитів і лізингу

Коли пропозиції мають різний графік платежів, PV дозволяє привести всі майбутні виплати до єдиної теперішньої точки відліку для коректного порівняння.

🧮 Іпотечний калькулятор → 📖 Формула складних відсотків →

Часті запитання

Що таке теперішня вартість (Present Value)?

Теперішня вартість (PV) — це сума грошей сьогодні, яка еквівалентна певній сумі, отриманій у майбутньому, з урахуванням того, що гроші можуть заробляти дохід з часом. Вона показує, скільки варта майбутня сума грошей у сьогоднішніх цінах.

Яка формула теперішньої вартості і як вона пов'язана зі складними відсотками?

Формула: PV = FV / (1+r)^n. Вона є оберненою до формули складних відсотків FV = PV·(1+r)^n — якщо там ми нарощуємо капітал у майбутнє, то тут ділимо, щоб привести майбутню суму до сьогодення (дисконтування).

Чому ставка дисконтування (r) так сильно впливає на результат?

Ставка дисконтування відображає альтернативну вартість грошей (opportunity cost) та ризик: чим вища ставка, тим більше упущеної вигоди чи ризику закладено, тому теперішня вартість тієї ж майбутньої суми зменшується. Ставка також підвищується разом із кількістю періодів (n) — довший горизонт дисконтується сильніше.

Що таке NPV (чиста теперішня вартість) і як вона використовується?

NPV = Σ [CFt / (1+r)^t] − початкові інвестиції. Це сума теперішніх вартостей усіх майбутніх грошових потоків проєкту за вирахуванням початкових витрат. Якщо NPV > 0, проєкт створює вартість і вважається прийнятним; якщо NPV < 0 — проєкт збитковий за цією ставкою дисконтування.

У чому різниця між теперішньою (PV) та майбутньою (FV) вартістю?

FV (майбутня вартість) показує, скільки коштуватиме сьогоднішня сума через n періодів при нарахуванні відсотків. PV (теперішня вартість) — це обернена дія: скільки варта сьогодні сума, яку ви отримаєте в майбутньому. FV рухається вперед у часі, PV — назад.

Спробуйте наживо

Дослідіть пов'язану модель на практиці: відкрийте NPV Discount-Rate Sensitivity: Front-Loaded vs Back-Loaded Projects і змінюйте параметри під час роботи. Усе лишається у вашому браузері.

▶ Відкрити симуляцію NPV Discount-Rate Sensitivity: Front-Loaded vs Back-Loaded Projects