Розподіл простих чисел та проміжки: Уламівська спіраль і π(n) ≈ n/ln(n)

Три способи розглядати одні й ті ж прості числа

Це моделювання показує одну й ту саму основну інформацію — послідовність простих чисел — трьома різними способами: Уламна спіраль, де цілі числа розташовані у квадратної спіралі та прості числа підсвічуються; гістограма проміжків, яка підраховує, наскільки часто послідовні прості числа відрізняються на 2, 4, 6 тощо; і функція π(n), яка просто відстежує кількість простих чисел до n. Кожен погляд відповідає різному питанню щодо однієї нескінченної та нерегулярної множини.

Визначення закономірності в Уламовій спіралі

Станіслав Улам випадково помітив цей малюнок у 1963 році, під час нудного конференційного доповіді: записуйте цілі числа у спиральному квадраті, починаючи з центру, відзначайте прості числа, і невід’ємна діагональна лінія виникає замість рівномірного розсипання, яке очікується від набору «випадкових» чисел. Пояснення не є містичним — кожна діагональ спіралі відповідає квадратичній поліноміалу an² + bn + c, і деякі поліноміали просто значно краще, ніж інші, уникнення малих простих множиників (попередньо вивчена схильність Гарді та Литтлвуда), тому вони виробляють помітно більшу щільність простих чисел вздовж цієї певної діагоналі. Патерн реальний, але він відображає відому теорічну упередженість чисел, а не новий секрет простих чисел.

Теорема про арифметичні числа

Припущено незалежно Гауссом і Лежандром близько 1800 року на основі таблиць простих чисел, а остаточно доведено у 1896 році Жаксом Хадамардом та Шарлем Жан де ла Вальлі Пусіном, Теорема про арифметичні числа визначає, як швидко стискаються прості числа:

pi(n) = кількість простих чисел ≤ n pi(n) ~ n / ln(n) якщо n → ∞ (відношення pi(n) до (n/ln(n))) сходиться точно до 1) n = 1,000 pi(n) = 168 n/ln(n) ≈ 145 n = 1,000,000 pi(n) = 78,498 n/ln(n) ≈ 72,382 Рівнозначно, випадкове ціле число поблизу n має приблизно шанс 1/ln(n) бути простим — близько 1 до 7 поблизу тисячі, падаючи до приблизно 1 до 14 поблизу мільйона. Більш точний і точний наближення, логарифмічна інтегральна Li(n), відстежує pi(n) ще ближче, ніж n/ln(n), а різниця між ними є предметом ще не доведеної гіпотези Рімана.

pi(n) = number of primes <= n

pi(n) ~ n / ln(n)          as n -> infinity
        (the ratio pi(n) / (n/ln(n)) tends to exactly 1)

n = 1,000       pi(n) = 168      n/ln(n) ≈ 145
n = 1,000,000   pi(n) = 78,498   n/ln(n) ≈ 72,382

Проміжки: Бертранова постулатура та близнюки простих чисел

Між будь-якими двома послідовними простими числами знаходиться проміжок, і в середньому цей проміжок зростає як ln(n) — що відповідає теоремі про розподіл простих чисел, оскільки прості числа поблизу n зустрічаються з "ймовірністю" 1/ln(n). Але проміжки далеко не єдиновідно: Бертранова постулатура (1845 року, доведена Чебунєвим у 1852 році) гарантує, що завжди є просте число між будь-яким n > 1 та 2n, отже проміжки ніколи не можуть рости занадто швидко відносно свого розташування. З іншого боку, близнюки простих чисел — пари, такі як (11, 13) або (17, 19), які відрізняються на рівно 2, з'являються знову і знову незалежно від того, наскільки далеко ви шукаєте, і кон’юнктура близнюків простих чисел стверджує, що існує нескінченна кількість таких пар, хоча це залишається формально непоказаним.

Знахідка межі: частковий результат

У 2013 році Йітанг Чжан – тоді маловідомий викладач – довів, що існує нескінченна кількість пар послідовних простих чисел, які відрізняються на не більше ніж 70 мільйонів, перше коли-небудь фіксоване обмеження для проміжків між простими числами, що повторюються безперервно. Через кілька місяців проєкт Polymath8 спільно працював над цим, зменшивши це обмеження до 246, де воно зараз знаходиться. Відхилення в 2 одиниці, яке вимагає теорема близнюків про простих чисел, все ще недосяжне, але якісна проблема – чи зустрічаються випадково малі проміжки безперервно? – тепер доведена позитивним чином, хоча й не закріплено за найменшим можливим проміжком.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Prime Distribution & Gaps і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.