Функція Вейєрштрасса: Крива, у якої немає дотичної ніде

Функція без ухилу всюди

До 1872 року більшість практикуючих математиків вважали за належне, що неперервна крива — та, яку можна намалювати, не піднімаючи ручки — повинна бути майже гладкою майже всюди, з добре визначеною касатною лінією в кількох гострих кутах. Андре-Марі Ампер навіть намагався загальний доказ цього в 1806 році. Карл Вейєрштрасс зруйнував це інтуїтивне уявлення за допомогою єдисної виразної формули: функція, яка доводиться неперервною в кожній точці дійсного рядка, але має похідну лише в жодній з них.

Будівництво — це нескінченна сума косинусів хвиль із геометрично зростаючої частоти та стиснутої амплітуди — ранній приклад того, що сьогодні називають фракталом, за десятиліття до того, як Мандельброт дав цьому слову значення.

Формула та умова для a, b

W(x) = sum_{n=0}^{infinity} a^n * cos(b^n * pi * x)

Умови (оригінальна заява Вейєрштрасса 1872 року): 0 1 + 3*pi/2 ≈ 5.712...

Тому W є безперервним у кожній точці, але ніде не диференційованим. Кожен окремий член a^n·cos(b^nπx) є ідеально гладкою косинусоїдною хвилею, просто дуже хитромудряною для великих n — b^n експоненціально збільшує частоту, а a^n зменшує амплітуду, і оскільки a 1 + 3π/2 є точкою, де високочастотні члени переважають будь-яку потенційну дотичну лінію в кожній точці, незалежно від того, як ви збільшуєте масштаб.

W(x) = sum_{n=0}^{infinity}  a^n * cos(b^n * pi * x)

conditions (Weierstrass's original 1872 statement):
  0 < a < 1
  b is a positive odd integer
  a*b > 1 + 3*pi/2   ≈ 5.712...

then W is continuous everywhere, differentiable nowhere.

Чому диференційованість не може існувати скрізь

Інтуїтивно: щоб функція мала похідну в точці, відмінностей (f(x+h)-f(x))/h повинна наближатися до кінцевого значення, коли h зменшується. Але на будь-якому масштабі h деякий член у теоремі Ваєрштрасса коливається саме за цим масштабом — оскільки частоти b^n охоплюють кожен порядок величини — і цей член відмовляється стабілізуватися або зникати відносно інших. При збільшенні масштабу на будь-якій точці та під будь-яким кутом ви продовжуєте знаходити свіжі гострі хвилі замість того, щоб крива згладжувалася в приблизну пряму лінію — це геометричний знак «тут немає дотичної».

Самоподібна структура та фрактальна розмірність

Графік W є самоподібним: одночасно масштабуйте вісь x на коефіцієнт b, а вісь y – на коефіцієнт 1/a, і графік відображається назад у (зміщену копію) самого себе, оскільки це точно те, що зміщення індексу підсумовування на одиницю робить із формулою. Ця самосхожість між масштабами пояснює, чому крива статистично однакова, незалежно від того, чи виглядаєте ви її за звичайного масштабу або збільшеному в тисячу разів — визначальний візуальний підпис фракталу, і її графік має розмірність обчислення коробки (фрактальну) 2 + log(a)/log(b), строго між розмірністю 1 гладкої кривої та розмірністю 2 заповненої області.

Аналітичний поворот: Приклад Вейєрштрасса

Приклад Вейєрштрасса приземлився в саме ті часи, коли математики намагалися заснувати обчислення на суворому, епсилон-дельта підході, замість інтуїтивного геометричного міркування. І він показав, що інтуїтивне міркування може бути помилковим. Його часто називають вирішальним імпульсом, який перетворив аналіз дійсності на ретельну, доведену дисципліну, яку сьогодні викладають — нагадуванням про те, що "очевидно правдиві" геометричні твердження про безперервність і гладкість потребували фактичних доказів, оскільки патологічні протиприклади, як цей, ховалися в провалах.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Weierstrass Nowhere-Differentiable Function і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.