p-адичні числа: Коли 100000000 є близьким до нуля

Розгляд поняття ‘близького’ в p-адичних числах

Звичайне відстань характеризується величиною: |7 − 3| = 4, і два числа вважаються близькими, якщо ця різниця невелика. p-адичні числа, введені Куртом Ганселем у 1897 році, кидають це поняття під заперечення та замінюють його ділимістю. Визначимо прості число p. Два цілих числа вважаються p-адично близькими, якщо їх різниця ділиться на височку степені p — чим більше разів p ділить різницю, тим ближче числа вважаються, незалежно від того, який великий цей розрив у звичайному сенсі.

Конкретно: при p = 2, числа 0 та 100000000 (що дорівнює 2⁸ × 390625) є надзвичайно близькими 2-адично, оскільки їх різниця ділиться на 2⁸. Натомість 0 та 1 знаходяться максимально далеко один від одного, оскільки 1 не ділиться на 2 взагалі. Це перевертає звичайне уявлення про те, що «найбільші» цілі числа в звичайному сенсі можуть бути тими, що сидять поруч із нулем.

Оцінка та метрична формула

Формально, оцінка p-адичного числа v_p(n) невід’ємного цілого n є показником p у його просте розкладенні — скільки разів p ділить n. Абсолютна p-адична величина та p-адистання визначаються безпосередньо з цього:

v_p(n) = показник p у простому розкладанні n |n|_p = p^(-v_p(n)) (і |0|_p = 0 за звичайною домовленістю) |x-y|_p = p^(-v_p(x-y)) <-- p-адиСТАННЯ між x та y

Приклад, p = 2: v_2(8) = 3 -> |8|_2 = 2^-3 = 0.125 v_2(1) = 0 -> |1|_2 = 2^0 = 1 8 є "меншим" (ближчим до 0) 2-адично, ніж 1, незважаючи на те, що 8 > 1 за звичайним значенням. Це справжня метрика — вона задовольняє позитивності, симетрії та трикутному нерівності — тому p-адичні числа утворюють легітимний метричний простір, просто дуже незвичний один.

v_p(n)   = the exponent of p in the prime factorization of n
|n|_p    = p^(-v_p(n))          (and |0|_p = 0 by convention)
|x-y|_p  = p^(-v_p(x-y))        <-- the p-adic DISTANCE between x and y

example, p = 2:
  v_2(8)  = 3   ->  |8|_2  = 2^-3 = 0.125
  v_2(1)  = 0   ->  |1|_2  = 2^0  = 1
  8 is "smaller" (closer to 0) 2-adically than 1, despite 8 > 1 normally

Ультраметрик: сильне нерівність трикутника

p-адиметрика насправді відповідає сильнішій, ніж звичайна нерівність трикутника — ультраметричній або "сильній трикутніій" нерівності, d(x,z) ≤ max(d(x,y), d(y,z)) замість простого d(x,y) + d(y,z). Це має дивні, але точні наслідки: будь-який трикутник є рівностороннім, з двома найдовшими сторонами завжди рівними; будь-яка точка всередині відкритої кулі є валідним центром цієї кулі; і дві кулі або не перетинаються, або одна повністю містить іншу — вони ніколи не можуть частково перекриватися. Ці властивості точно відповідають властивостям ієрархічної розгалуженої структури, тому p-адичні числа природним чином зображуються як нескінченне дерево, а не лінію: на кожному рівні ви розгалужуєтеся на p дітей відповідно до наступної цифри розкладу з основою p, і відстань у метриці відповідає безпосередньо глибині спільного предка.

Чому математики насправді використовують це

p-адильний аналіз — не дивовинка, яку зберігають у музейному кейку; це навантажувальна техніка в сучасному теорієзнавстві чисел. Лема Генселя дозволяє підняти розв’язок рівняння полінома за модулем p до точного розв’язку в ℚ_p, по суті, p-адийна версія методу Ньютона. Принцип Гассе локально-глобальний ставить питання, чи є диофантове рівняння розв'язним у кожній ℚ_p (і в дійсних числах) — це вірно для квадратичних форм, але відомо, що це не так загалом. І доведення Віллемсом 1994 року остаточного теореми Ферма побудовано на p-адичних галійових представленнях еліптичних кривих, безпосередньо з’єднуючи цю 19-століття дивовину з одним із найвідоміших математичних теорем.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте p-adic Number Ultrametric Space і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.