Rozkład i Przerwy Liczebów Pierwszych

Trzy sposoby patrzenia na te same liczby pierwsze

Symulacja ta prezentuje tę samą podstawową informację – sekwencję liczb pierwszych – w trzech różnych formach: spiralę Ulama, gdzie liczby całkowite są ułożone w spiralę kwadratową, a liczby pierwsze są oznaczane; histogram rozbieżności, który podsumowuje, jak często różnice między kolejnymi liczbami pierwszymi wynoszą 2, 4, 6 i tak dalej; oraz funkcję liczącą pi(n), która po prostu śledzi ile liczb pierwszych istnieje do n. Każdy z tych widoków odpowiada na inne pytanie dotyczące tej samej nieskończonej, nieregularnej zbioru.

demo na żywo · powiązana symulacja● LIVE

Układ Ułama i jego przekątne

Stanisław Ułamek zauważył ten wzór przypadkiem w 1963 roku, rysując bez sensu podczas nudnej prezentacji konferencyjnej: zapisz liczby całkowite w spiralnym kole okręgowym zaczynając od środka, zaznacz liczbę pierwszą i wyraźne przekątne pojawiają się zamiast równomiernego rozrzutu, jaki można by oczekiwać od zbioru "losowego". Wyjaśnienie nie jest magiczne – każda przekąтна spiralnego kole okręgowego odpowiada wielomianowi kwadratowemu an² + bn + c, a niektóre wielomiany są po prostu znacznie lepsze niż inne w unikaniu małych czynników pierwszych (tendencja badana po raz pierwszy przez Hardy'ego i Littlewooda), więc produkują zauważalnie wyższą gęstość liczb pierwszych wzdłuż danej przekątnej. Wzór jest prawdziwy, ale odzwierciedla znane tendencje matematyczne, a nie jakiś nowy sekret dotyczący liczb pierwszych.

Twierdzenie o Liczbach Pierwszych

Niezależnie od siebie zaproponowane przez Gauss i Legendre około roku 1800 na podstawie tabel liczb pierwszych, a ostatecznie udowodnione w 1896 roku przez Jacques'a Hadamard i Charlesa Jean de la Vallée Poussina, Twierdzenie o Liczbach Pierwszych określa, jak szybko liczba pierwsza zanika:

pi(n) = liczba liczb pierwszych ≤ n pie(n) ~ n / ln(n) dla dużych n (wartość iloraza pi(n) / (n/ln(n)) dąży dokładnie do 1) n = 1,000 pi(n) = 168 n/ln(n) ≈ 145 n = 1,000,000 pi(n) = 78,498 n/ln(n) ≈ 72,382 Równoważnie, losowa liczba w pobliżu n ma około szansę 1/ln(n), aby być liczbą pierwszą – około 1 na 7 w okolicach tysiąca, spadając do około 1 na 14 w okolicach miliona. Bardziej precyzyjne przybliżenie, całka logarytmiczna Li(n), śledzi pi(n) jeszcze dokładniej niż n/ln(n), a różnica między nimi jest sama w sobie przedmiotem nieudowodnionej jeszcze hipotezy Riemanna.

pi(n) = number of primes <= n

pi(n) ~ n / ln(n)          as n -> infinity
        (the ratio pi(n) / (n/ln(n)) tends to exactly 1)

n = 1,000       pi(n) = 168      n/ln(n) ≈ 145
n = 1,000,000   pi(n) = 78,498   n/ln(n) ≈ 72,382

Przestoje: Postulat Bernhardta i liczby bliźniacze

Pomiędzy każdą parą kolejnych liczb pierwszych znajduje się przerwa, a średnio ta przerawa rośnie jak ln(n) – zgodnie z Twierdzem o Liczbach Pierwszych, ponieważ liczby pierwsze w pobliżu n występują z "rawdopodobieństwem" 1/ln(n). Jednak przerwy zdecydowanie nie są jednorodne: Postulat Bernhardta (1845, udowodniony przez Chebyshev'a w 1852 roku) gwarantuje, że zawsze istnieje liczba pierwsza między dowolnym n > 1 a 2n, więc przerwy nigdy nie mogą rosnąć zbyt szybko w stosunku do ich położenia. Z drugiej strony, liczby bliźniacze – pary takie jak (11, 13) lub (17, 19), różniące się o dokładnie 2 – pojawiają się ponownie i znów, niezależnie od tego, jak daleko na zewnątrz patrzymy, a hipoteza liczb bliźnich stwierdza, że istnieje nieskończenie wiele takich par, choć pozostaje ona formalnie nieudowodniona.

Znaczący częściowy wynik

W 2013 roku Yitang Zhang – wówczas stosunkowo mało znany wykładowca – udowodnił, że istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych o różnicy nie większej niż 70 milionów, stanowiąc pierwszy kiedykolwiek ustalony skończony próg dla odstępów międzyliczbowych. W ciągu kilku miesięcy projekt Polymath8 doprowadził do zmniejszenia tego progu do 246, gdzie obecnie się utrzymuje. Odcinek różnicy dokładnie 2, wymagany przez konjekturę liczb parzystych bliźniaczych, wciąż pozostaje poza zasięgiem, jednak pytanie jakościowe – czy arbitralnie małe odstępy występują nieskończenie często? – zostało teraz udowodnione jako tak, choć jeszcze nie przypisane do najmniejszego możliwego odstępu.

Frequently asked questions

Dlaczego liczby pierwsze tworzą przekątne linie na spirali Ułama?

Wynika to z faktu, że liczby na danej przekątnej spirali spełniają wzór kwadratowy an² + bn + c, a niektóre kwadraty generują niezbyt dużą liczbę liczb pierwszych ze względu na częstotliwość ich unikania małych czynników pierwszych. Jest to wizualny błąd wynikający z tendencji liczbowej, a nie ukryty wzór w samych liczbach pierwszych.

Co mówi twierdzenie Wielkiego Cyklu Liczb Pierwszych?

Mówi ono, że π(n), liczba liczb pierwszych mniejszych lub równych n, jest asymptotycznie równa n/ln(n) — stosunek π(n)/(n/ln(n)) dąży do 1 w miarę wzrostu n. Innymi słowy, losowa liczba bliska n ma około szansy 1/ln(n), że będzie pierwsza, więc liczby pierwsze gęstość maleje logarytmicznie, nigdy nie zanikając, ale stają się coraz rzadziej w nieskończoności.

Czy hipoteza bliźniączych liczb pierwszych została udowodniona?

Nie, pozostaje otwarta, ale w 2013 roku Yitang Zhang wykazał, że istnieje nieskończenie wiele kolejnych liczb pierwszych różniących się o co najwyżej 70 milionów, a projekt Polymath szybko obniżył tę granicę do 246. Luki wynoszące dokładnie 2 wymagane przez hipotezę bliźniaczą pozostają nieudowodnione, ale ustalony skończony próg jest teraz twierdzeniem.

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Prime Distribution & Gaps i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.

▶ Otwórz symulację Prime Distribution & Gaps

Rozkład i Przerwy Liczebów Pierwszych: Ulam Spiralna i pi(n) ~ n/ln(n)