Liczby p-adowe: Kiedy 100000000 jest bliskie zeru

Inny sens słowa "blisko"

Zwykła odległość jest o wartości bezwzględnej wielkości: |7 − 3| = 4, a dwie liczby są blisko, jeśli ta różnica jest mała. Liczby p-adyczne, wprowadzone przez Kurta Hensela w 1897 roku, podważają to założenie i zastępują je podzielnością. Wybierz dowolną liczbę pierwszą p. Dwie liczby całkowite są p-adicznie blisko, jeśli ich różnica jest podzielna przez potęgę p – im częściej p dzieli tę różnicę, tym liczby uważane są za bliższe, niezależnie od tego, jak duża ta różnica jest w sensie zwykłym.

Konkretnie: dla p = 2, liczby 0 i 100000000 (czyli 2⁸ × 390625) są bardzo blisko 2-adicznie, ponieważ ich różnica jest podzielna przez 2⁸. Natomiast 0 i 1 oddalają się od siebie tak bardzo, jak tylko liczby całkowite mogą się oddalić, ponieważ 1 w ogóle nie dzieli się przez 2. To odwraca nasze zwykłe intuicje – "największe" liczby w sensie zwykłym mogą być tymi, które leżą tuż obok zera.

Ocena i wzór metryczny

Formalnie, wartość p-adowa $v_p(n)$ liczby nonzeroj $n$ to wykładnik $p$ w jej rozkładzie na czynniki pierwsze — ile razy $p$ dzieli $n$. Wartość bezwzględna $p$-owa i odległość $p$-owa są wtedy zdefiniowane bezpośrednio z niej:

$v_p(n) = $ wykładnik $p$ w rozkładzie na czynniki pierwsze liczby $n$ $|n|_p = p^{-v_p(n)} $ (oraz $|0|_p = 0$ za zgodą) $|x-y|_p = p^{-v_p(x-y)}$ -- odległość $p$-owa między $x$ a $y$ Przykład, dla $p=2$: $v_2(8) = 3$ -> $|8|_2 = 2^{-3} = 0.125$ $v_2(1) = 0$ -> $|1|_2 = 2^0 = 1 Liczba 8 jest "mniejsza" (bliższa zeru) pod wzglęściem $p$-owym, pomimo tego, że $8 > 1$ normalnie. Jest to prawdziwa metryka — spełnia ona pozytywność, symetrię i nierówność trójkąta — więc liczby $p$-owe tworzą legitymizną przestrzeń metryczną, choć bardzo nieznaną. Uzupełniając ułamki pod tym nowym metrycznym, tak jak robi się to z ułamkami uzupełnionymi pod zwykłą wartością bezwzględną, daje to zupełnie inny system liczb: $mathbb{Q}_p$, pole liczb $p$-owych.

v_p(n)   = the exponent of p in the prime factorization of n
|n|_p    = p^(-v_p(n))          (and |0|_p = 0 by convention)
|x-y|_p  = p^(-v_p(x-y))        <-- the p-adic DISTANCE between x and y

example, p = 2:
  v_2(8)  = 3   ->  |8|_2  = 2^-3 = 0.125
  v_2(1)  = 0   ->  |1|_2  = 2^0  = 1
  8 is "smaller" (closer to 0) 2-adically than 1, despite 8 > 1 normally

Ultrametric: silniejsza nierówność trójkąta

Metryka p-adowa rzeczywiście przestrzega czegoś silniejszego niż zwykła nierówność trójkąta – nierówności ultrametrycznej, zwanej również "silną nierównością trójkąta": d(x,z) ≤ max(d(x,y), d(y,z)) zamiast jedynie d(x,y) + d(y,z). To ma dziwne, ale precyzyjne konsekwencje: każdy trójkąt jest równoboczny, z dwiema najdłuższymi bokami zawsze równymi; każdy punkt wewnątrz otwartej kuli jest poprawnym środkiem tej kuli; a dwie kule są albo rozłączne, albo jedna zawiera drugą całkowicie – nigdy nie mogą się częściowo nakładać. Są to dokładnie właściwości hierarchicznej struktury rozgałęzającej, dlatego p-adowe liczby naturalnie rysowane są jako nieskończone drzewo, zamiast linii: na każdym poziomie rozgałęziają się w p dzieci zgodnie z kolejną cyfrą rozwinięcia o podstawie-p, a odległość w metryce odpowiada bezpośrednio głębokości wspólnego przodka.

Dlaczego matematycy rzeczywiście wykorzystują to

Analiza p-adowa nie jest ciekawostką przechowywaną w skrzyni z muzeum; jest to maszynowy sprzęt w nowoczesnej teorii liczb. Lem Hensela pozwala podnieść rozwiązanie równania wielomianowego modulo p do dokładnego rozwiązania w ℚ_p, co zasadniczo jest wersją metodą Newtona w stylu p-adowego. Zasada lokalno-globalna Hasse'a pyta, czy równanie Diophantowe rozstrzygnięte w każdym ℚ_p (i w zbiorach rzeczywistych) jest rozstrzygnięte w cudzysłowu racjonalnych – prawdy dla form kwadratowych, słynnie fałszywe ogólnie. A dowód Andrew Wilesa z 1994 roku Fermatańskiej ostatniej tezy jest oparty na reprezentacjach Galois p-adowych krzywych eliptycznych, łącząc tę ciekawostkę z XIX wieku bezpośrednio z jednym z najbardziej znanych twierdzeń matematycznych.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz p-adic Number Ultrametric Space i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.