3D «Звивини»: Потокові поля без заглиблень та витоків

Проблема з випадковим шумом як полем потоку

Шум Перліна та його родичі (Сімплекс, Ворлі) є стандартним інструментом для додавання органічного хаотичного ефекту в комп’ютерній графіці, і спокуса безпосередньо відбирати функцію 3D шуму та використовувати її градієнт як швидкість частинок. Результат виглядає задовільно шумом для текстури, але як поле потоку він працює дуже погано: градієнтні поля мають ненульову дивергенцію майже всюди, що означає, що деякі області простору діють як невидимі джерела відтоку, втягуючи частинки, і інші – як невидимі джерела, відштовхуючи їх. Спостерігайте за його роботою протягом кількох секунд, і ви побачите, що частинки скупчуються у згустках або покидають цілі області екрану.

Рішення – це один векторної ідентичності

Обчислення векторного простору надає вихідний шлях, який не потребує жодного розв’язку рівнянь гідродинаміки: для будь-якого гладкого векторного поля Ψ, обертання цього поля, ∇×Ψ, гарантовано має нульову дивергенцію. Це ідентичність, ∇·(∇×Ψ) = 0, що вірне для кожної можливої Ψ – отже, якщо ви будуєте поле швидкості шляхом обертання потенціального поля, неприводимість автоматично забезпечується, а не потрібно її розв’язувати.

Psi(x,y,z) = ( noise1(x,y,z), noise2(x,y,z), noise3(x,y,z) ) // 3 незалежні шумові поля v = curl(Psi) = ( dPsi_z/dy - dPsi_y/dz, dPsi_x/dz - dPsi_z/dx, dPsi_y/dx - dPsi_x/dy ) // приблизно обчислюйте кожну часткову похідну центральною різницею: dPsi_z/dy ≈ ( Psi_z(x, y+e, z) - Psi_z(x, y-e, z) ) / (2*e) Використовуйте три незалежні шумові поля, по одному на компонент потенціалу Ψ, та обчислюйте обертання чисельно за допомогою центральної кінцевої різниці (стандартна техніка, популяризована у 2007 році в статті SIGGRAPH Роберта Брідсона про шум обертання для процедурної гідродинаміки потоку). Результат – справжнє неприводиме поле швидкості, вибіркове в будь-якому місці простору в 3D, за незначні витрати обчислень – набагато дешевше, ніж розв’язання рівняння Пуассона для тиску, яке потребує реального розв’язника Нав’єр-Стокс.

Psi(x,y,z) = ( noise1(x,y,z), noise2(x,y,z), noise3(x,y,z) )   // 3 independent noise fields

v = curl(Psi) = ( dPsi_z/dy - dPsi_y/dz,
                   dPsi_x/dz - dPsi_z/dx,
                   dPsi_y/dx - dPsi_x/dy )

// approximate each partial derivative with a central difference:
dPsi_z/dy ≈ ( Psi_z(x, y+e, z) - Psi_z(x, y-e, z) ) / (2*e)

Чому це схоже на турбулентність

Шум типу Перліна має енергію, розподілену рівномірно по широкому діапазоні просторових частот, а не сконцентровану в одній шкалі. Його обертання успадковує цю властивість: ви отримуєте звиви та водоспливи різного розміру, що уві скрученому вигляді нагадують водоспади віртуальних воріт турбулентного потоку, хоча тут жодна величина не підкоряється рівнянням Нав’є-Стокса. З'єднання кількох октав шуму з різними частотами (фракційний бруновианський рух) перед обчисленням обертання ще більше посилює схожість, додаючи тонкі спіралі поверх великих повільних водоспливів – такий самий метод накопичення октаж використовувався для того, щоб шум Перліна виглядав як природний рельєф або хмари.

Де це використовується

Шумову модуляцію спіралі часто використовують у виробництві візуальних ефектів: дим, вогонь, ефекти магії та частинно-базовані потоки рідин у фільмах та іграх часто керуються за допомогою шумової модуляції спіралі замість повної симуляції рідини, оскільки її можна обчислювати в будь-якій точці та в будь-який час – без сітки, без історії симуляції, вона легко паралелізується на мільйони частинок — і її можна накладати поверх грубої реальної симуляції для додавання дешево дрібних підсіткових деталей. Обмін відбувається у тому, що вона не має пам'яті про перешкоди, межі чи збереження імпульсу; це кінематичне наближення потоку, а не фізичне, і її обирають спеціально тому, що "виглядає непрозоро" часто є тим, що потрібно для зйомки.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте 3D Curl Noise Flow Field і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.