Леннард-Джонс Потенціал: Фізика Молекулярної Динаміки

Формула одна, дві конкуруючі сили

Дві атоми, що проходять повз один одного, відчувають силу, яка слабко приваблива на великих відстанях і сильно відштовхує на малих. Потенціал Леннарда-Джоуза пакує обидва ці фактори в одну вираз, використовуючи лише два параметри:

V_LJ(r) = 4ε[(σ/r)¹² − (σ/r)⁶] ε = глибина потенціального ями (енергія) σ = відстань, при якій V = 0 (довжина) Термін −(σ/r)⁶ притягує атоми один до одного; термін (σ/r)¹² , який перемагає на коротких відстанях завдяки швидкому росту, відштовхує їх силою. Разом вони викарбували яму з мінімумом при r_eq = 2^(1/6)σ ≈ 1.122σ, де V(r_eq) = −ε — відстань рівноваги та енергія зв’язку для пари.

V_LJ(r) = 4ε[(σ/r)¹² − (σ/r)⁶]
ε = depth of the potential well (energy)
σ = distance at which V = 0 (length)

Від чого беруться показники

Привабливий терм r⁻⁶ має твердий фізичний сенс: це сила Лондона, отримана Фріцем Лондоном у 1930 році з квантової теорії порушення. Навіть неполярні атоми, як аргон, відчувають її, оскільки миттєві коливання щільності електронів створюють тимчасову дипольну взаємодію, яка викликає відповідний диполь у сусідньому атомі; взаємодія пропорційна квадрату поляризації та зменшується до r⁻⁶. Відштовхнутий термін - це інша історія — справжнє відштовхування Паулі через перекриття електронних хмар, яке дійсно падає експоненціально (потенціал Баттерслі використовує A·e^(−Br)), і r⁻¹² не має аналогічного фізичного походження. Його обрано для зручності: оскільки (σ/r)¹² це просто [(σ/r)⁶]², симулятору вдається обчислити привабливий термін майже без зусиль.

Відстань рівноваги, глибина потенціалу та справжні атоми

Сила є негативним градієнтом потенціалу:

F(r) = −dV/dr = 24ε/r · [2(σ/r)¹² − (σ/r)⁶] — відштовхуюча для r < r_eq, притягаюча для r > r_eq і дорівнює нулю приблизно за 3σ. Підбір ε та σ для реальних газів дає конкретні числа — аргон: ε/k_B = 119.8 K, σ = 3.405 Å; неон: 35.6 K, 2.749 Å; криптон: 171.0 K, 3.61 Å. Звіт про ε як температуру (ε/k_B) є навмисним: це порівнюється безпосередньо з тепловою енергією k_BT і пояснює, чому аргон конденсується лише нижче приблизно 87 K — тепловий рух повинен впасти нижче глибини LJ потенціалу, перш ніж атоми зможуть залишатися зв’язаними з сусідами.

F(r) = −dV/dr = 24ε/r · [2(σ/r)¹² − (σ/r)⁶]

Зменшені одиниці та межа радіуса

Модулі динаміки молекул майже ніколи не працюють у фізичних одиницях. Замість цього вони використовують зменшені одиниці LJ — довжина r* = r/σ, енергія E* = E/ε, температура T* = k_BT/ε, час t* = t√(ε/mσ²) — що зводить потенціал до V*(r*) = 4[(1/r*)¹² − (1/r*)⁶] без будь-яких вільних параметрів. Два різних рідини LJ при однаковій T* та ρ* поводяться однаково, як наслідок принципу відповідних станів, тому одне виконання симуляції у зменшених одиницях може замінити аргон, криптон або будь-який інший благородний газ просто шляхом масштабування.

Обчислення кожної пари взаємодій має складність O(N²), тому реальні коди обрізають потенціал на межі радіуса r_c (зазвичай 2.5σ, де V(r_c) ≈ −0.016ε — вже незначний порівняно з тепловою енергією кімнатної температури) і зміщують всю криву вниз на V(r_c), щоб вона точно дорівнювала нулю на межі без неперервного стрибка, який би витікав енергії на кожному кроці. У поєднанні з алгоритмами Verlet або зв’язних комірками це перетворює обчислення сили O(N²) на O(N), що робить здійснення тисяч частинок Lennard-Jones у браузері практичним — і дозволяє виникненню фаз газу, рідини та твердого тіла лише за допомогою цих парних сил і інтегратора Velocity Verlet, без необхідності правила переходу фази.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.