Potencjał Lennarda-Jonesa: Fizyka Dynamiki Molekularnej |……

Jedna formuła, dwie konkurujące siły

Dwa atomy przecinające się wzajemnie odczuwają siłę, która jest słabo przyciągająca na dużej odległości i gwałtownie odpychająca na małej – to właśnie opisuje potencjał Lennarda-Jonesa, który zamyka tę dwuzdronną sytuację w jednej formule, wykorzystując jedynie dwa parametry:

V_LJ(r) = 4ε[(σ/r)¹² − (σ/r)⁶] ε = głębokość potencjału (energia) σ = odległość, przy której V = 0 (długość) Term –(σ/r)⁶ przyciąga atomy do siebie; term (σ/r)¹², który dominuje na krótkich dystansach ze względu na swój szybki wzrost, gwałtownie je odpycha. Razem tworzą oni wgłębienie z minimum w r_eq = 2^(1/6)σ ≈ 1,122σ, gdzie V(r_eq) = −ε – odległość równowagi i energia wiązania dla pary.

V_LJ(r) = 4ε[(σ/r)¹² − (σ/r)⁶]
ε = depth of the potential well (energy)
σ = distance at which V = 0 (length)

demo na żywo · powiązana symulacja● LIVE

Skąd bierze się ekspponent

Atrakcyjny termin r⁻⁶ ma solidne podstawy fizyczne: jest to siła dispersji Londona, wyliczona przez Fritza Londona w 1930 roku na podstawie teorii perturbacji kwantowych. Nawet atomy niepolarnym typu argon odczuwają ją, ponieważ chwilowe fluktuacje gęstości elektronów tworzą tymczasowy dipol, który indukuje dopasowany dipol w sąsiednim atomie; interakcja jest proporcjonalna do kwadratu polaryzowalności i maleje wykładniczo z r⁻⁶. Termin odpychający to inna sprawa – prawdziwa siła odpychania wywołana przez ekskluzyjne zasady Pauliego z nakładających się chmur elektronowych, rzeczywiście maleje wykładniczo (potencjał Buckinga używa A·e^(−Br)), a r⁻¹² nie ma porównywalnej podstawy fizycznej. Jest on wybierany ze względu na wygodę: ponieważ [(σ/r)⁶]² to po prostu [(σ/r)¹²], symulacja otrzymuje termin odpychający niemal bez zbędnych kosztów, gdy obliczono już termin przyciągający.

Odległość równowagi, głębokość potencjału i rzeczywiste atomy

Siła jest równa ujemnemu gradientowi potencjału:

F(r) = −dV/dr = 24ε/r · [2(σ/r)¹² − (σ/r)⁶] — odpychająca dla r < r_eq, przyciągająca dla r > r_eq i w zasadzie zerowa poza około 3σ. Dopasowanie ε i σ do gazów rzeczywistych daje konkretne liczby — argon: ε/k_B = 119,8 K, σ = 3,405 Å; neon: 35,6 K, 2,749 Å; krypton: 171,0 K, 3,61 Å. Raportowanie ε jako temperatury (ε/k_B) jest celowe: jest bezpośrednio porównywalne z energią kinetyczną k_BT i wyjaśnia, dlaczego argon kondensuje się tylko poniżej około 87 K — ruch posadowy musi spaść poniżej głębokości wella LJ przed atomy mogą pozostać związane z sąsiadami.

F(r) = −dV/dr = 24ε/r · [2(σ/r)¹² − (σ/r)⁶]

Zmniejszone jednostki i promień cięcia

Kody dynamiki molekularnej prawie nigdy nie działają w rzeczywistych jednostkach. Zamiast tego używają zmniejszonych jednostek LJ — długość r* = r/σ, energia E* = E/ε, temperatura T* = k_BT/ε, czas t* = t√(ε/mσ²) — które upraszczają potencjał do V*(r*) = 4[(1/r*)¹² − (1/r*)⁶] bez żadnych parametrów. Dwa różne płyny LJ przy tej samej T* i ρ* zachowują się identycznie, co jest konsekwencją zasady stanów odpowiadających, dlatego pojedyncze uruchomienie symulacji w zmniejszonych jednostkach może zastąpić argon, krypton lub inny gaz nośny, po prostu skalując.

Obliczanie każdej interakcji pary to O(N²), więc rzeczywiste kody przycinają potencjał na promieniu cięcia r_c (zwykle 2.5σ, gdzie V(r_c) ≈ −0.016ε — pomijalnie mała w porównaniu z energią termiczną w temperaturze pokojowej) i przesuwają całą krzywą w dół o V(r_c), aby dokładnie osiągnęła zero na promieniu cięcia bez dyscontinuity, która by wyciekła energii za każdym krokiem czasowym. W połączeniu z listami sąsiedztwa Verlet lub listami komór połączonych, to przekształca obliczenie siły O(N²) w O(N), co sprawia, że symulacja tysięcy cząstek Lennarda-Jonesa w przeglądarce jest wykonalna — a pozwala na pojawienie się faz gazu, cieczy i stałych wyłącznie z tych parzystych sił i integratorowi Velocity Verlet, bez konieczności określania reguły przejścia fazy.

Frequently asked questions

Dlaczego potencjał Lennarda-Jonesa używa konkretnie wykładników 12 i 6?

Termin r⁻⁶, który jest przyciągający, ma podstawę fizyczną: pochodzi on z oddziaływań dyspersyjnych między fluktuującymi indukowanymi dipolami. Termin r⁻¹² odpychający nie ma porównywalnego uzasadnienia fizycznego – prawdziwa repulsja wynikająca z wykluczenia Pauliego zanika wykładniczo. Wybór r⁻¹² wynika z faktu, że równa się on kwadratowi już obliczonego terminu r⁻⁶, co sprawia, że jest prawie darmowy do obliczania w symulacji.

Co ε i σ faktycznie kontrolują?

σ to odległość, w której potencjał przecina zero, czyli skuteczny średnicę atomu. ε to głębokość potencjału, energia wiązania utrzymująca dwa atomy razem w ich równowagowym rozstawie r_eq = 2^(1/6)σ. Większe ε oznacza głębszy i silniejszy związek; dla argonu ε/kB = 119,8 K, co wyjaśnia, dlaczego argon kondensuje się tylko poniżej około 87 K.

Dlaczego symulacje przycinają potencjał w promieniu cięcia?

Obliczanie każdej pary z N cząstek wymaga pracy O(N²). Ponieważ potencjał Lennarda-Jonesa jest pomijalny poza około 2,5σ, symulacje przycinają i przesuwają potencjał do zera w tym promieniu cięcia, a następnie wykorzystują listy sąsiedztwa lub połączone komórki tylko do sprawdzania bliskich par – przekształcając obliczenia siły O(N²) w obliczenia O(N) bez znaczącego wpływu na fizykę.

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz the simulation i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.

▶ Otwórz symulację the simulation