Реакція-дифузія: Як хімія малює плями леопарда

Реакція-дифузія: Як хімія малює плями леопарда

Реакція-дифузійні системи поєднують два ефекти, які окремо роблять протилежні речі. Дифузія сама по собі розповсюджує будь-яку концентрацію до рівномірності та безформності. А реакція між двома або більше хімічними видами може створювати локальні піки концентрації, але не має відчуття простору. Поєднавши їх — хімічна реакція, що відбувається одночасно з дифузією в 2D полі - виникає щось неочікуване: замість того, щоб колапсувати до рівності, система може закріпитися у стабільній, повторюваній структурі. Алан Тюрінг запропонував саме цю механізм у 1952 році, щоб пояснити, як однорідне просторово ембріо може розвинути періодичну структуру, таку як плями та смуги, десятиліття до того, як були ідентифіковані фактичні біохімічні «морфогени».

Модель Грей-Скотта

Модель Грей-Скотта відстежує дві хімічні речовини U та V на сітці, де V каталізує власне виробництво, споживаючи U (аутокаталітична реакція), і обидві дифундують з власних швидкостей D_u та D_v:

∂u/∂t = D_u·∇²u − u·v² + F·(1−u) // U поповнюється з податкового потоку F ∂v/∂t = D_v·∇²v + u·v² − (F+k)·v // V видаляється з швидкості F+k D_u > D_v // U (тут інгібітор) дифундує швидше, ніж V (активатор) Реакційний член u·v² створює автокаталітичну дію V — йому потрібне як себе, так і U для росту, тому невеликий місцевий надлишок V швидко споживає поблизу U та росте далі, а F безперервно поповнює U скрізь, а (F+k) безперервно відводить V. Вимога, щоб інгібітор дифундував швидше за активатор, є загальною умовою Тюрінга для формування візерунків — видаліть її, і система просто розслабиться до рівноважного стану.

∂u/∂t = D_u·∇²u − u·v² + F·(1−u)      // U replenished at feed rate F
∂v/∂t = D_v·∇²v + u·v² − (F+k)·v      // V removed at rate F+k
  D_u > D_v   // U (the inhibitor here) diffuses faster than V (the activator)

Параметри зоопарку: F і k вибирають візерунок

Весь різноманітний вигляд сірого-скота – плями, смуги, лабіринти, самовідтворювані бульбашки або нічого з цього – обирається лише двома числами, швидкість подачі F і швидкість знищення k. Малі регіони простору (F, k) різко межують один з одним: зміна k на кілька тисячних може перевернути симуляцію від стабільних плям до хаотичного, безперервно змінюючогося лабіринту. Ця чутливість є причиною того, що модель створює такий багатий візуальний «зоопарк» з одного фіксованого набору диференціальних рівнянь.

Розподіл по сітці: FTCS

Симуляція прогресує за допомогою схемою Forward-Time Centred-Space (FTCS): Лапласіан ∇²u в кожній клітинці наближається за допомогою дискретного шаблону над сусідами, і вся сітка послідовно переноситься вперед явно:

laplacian(u, x, y) = u[x-1][y] + u[x+1][y] + u[x][y-1] + u[x][y+1] - 4*u[x][y] // шаблон з 4 сусідів u_new = u + dt * (D_u*laplacian(u) - u*v*v + F*(1-u)) v_new = v + dt * (D_v*laplacian(v) + u*v*v - (F+k)*v) Для забезпечення стабільності потрібен достатньо малий час кроку відносно розміру сітки (який є типом CFL-запобігання для явних схем); у виробничих реалізаціях цей цикл зазвичай переноситься в WebGL2, щоб кожна клітинка оновлювалася паралельно на GPU кожного кадру, що робить реальний час повноекранні візерунки можливими в браузері.

laplacian(u, x, y) =
  u[x-1][y] + u[x+1][y] + u[x][y-1] + u[x][y+1] - 4*u[x][y]   // 4-neighbour stencil

u_new = u + dt * (D_u*laplacian(u) - u*v*v + F*(1-u))
v_new = v + dt * (D_v*laplacian(v) + u*v*v - (F+k)*v)

Дифузійна реакція: Як хімія створює візерунки леопарда

Тюрінгівський механізм — активатор і більш швидке розповсюдження інібітора — згодом було підтверджено в реальних розвиткових системах: утворення смуг у жибах, розподіл пальців кінцівок хребетних тварин та візерунок волосяних фолікулів. Усі ці процеси можна пояснити за допомогою пар активатор-інібітор, які поводяться згідно з тією ж математикою. Рівняння Грей-Скотта є спрощеним і змодельованим представленням цих значно складніших біохімічних мереж, але вони відтворюють ту саму основну поведінку: початкова рівномірність плюс локальна нестабільність призводить до стійких та повторюваних візерунків.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте the simulation і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.