Модель Ізінга: Фазові Переходи та Ферромагнетизм

Сітка малих магнітів

Ізомерна модель спрощує магніт до найпростішого, що все ще демонструє фазову перехід: сітка спінів, кожен з яких вказує вгору або вниз (+1 або −1), кожен з яких хоче вирівнятися зі своїми сусідами через те, що це знижує енергію системи. Енергія будь-якої конфігурації є гамільтоніаном нижче — J встановлює, наскільки сильніше сусіди віддають перевагу узгодженню, а h - зовнішнє магнітне поле, яке штовхає кожен спін одним і тим самим чином.

H = −J Σ⟨i,j⟩ s_i s_j − h Σ_i s_i neighboring pairs external field term Left alone at high temperature, thermal jitter beats the coupling and spins point every which way — zero net magnetisation. Cooled below a critical temperature, the coupling wins and large patches of the lattice lock into agreement, giving a nonzero net magnetisation without any external field at all: spontaneous magnetisation, the same phenomenon that makes a bar of iron a permanent magnet below its Curie point.

H = −J Σ⟨i,j⟩ s_i s_j  −  h Σ_i s_i
       neighbouring pairs           external field term

Metropolis–Hastings: зразок без розв’язку

Для будь-якої решітки більшої за кілька десятків спінів, кількість конфігурацій надто велика для підрахунку, тому симуляція використовує метод Монте Карло замість цього: вибирається випадковий спін, обчислюється на скільки зміниться загальна енергія, якщо він перевернеться (ΔE), і він перевертається, якщо це знижує енергію, або якщо це її підвищує, перевертається будь-коли з ймовірністю exp(−ΔE / kᵇT). Повторюючи це мільйони разів, це правило Metropolis генерує конфігурації, що точно відповідають розподілу Больна як при температурі T — без необхідності обчислення (неможливо великого) нормалізуючого суму над усіма станами.

pick random site i
ΔE = energy_if_flipped(i) - energy_now(i)
if ΔE <= 0 or random() < exp(-ΔE / (k*T)):
    flip(i)

Кюрієва точка та критичні явища

Для 2D квадратної решітки Ларс Онсогер у 1944 році знайшов точну критичну температуру: kBTc / J = 2 / ln(1 + √2), приблизно 2,269. Відразу над Tc решітка є тонким, постійно змінюючимся візерунком мікродоменів; відразу під нею домени зливаються та ростуть, поки одна орієнтація домінує в усій сітці. Поруч із Tc довжина кореляції — типовий розмір узгодженої ділянки — розбігається, і величини, такі як магнітна сумісність та проникність, слідують за законом степені в (T − Tc) з універсальними показниками, які поділяються різними фізичними системами, тому модель Ізинга вважається шаблоном для фазових переходів загалом, а не тільки магнетизму.

Чому простий Metropolis уповільнюється біля T_c

Ближче до критичної точки, області значно збільшуються і перевертання одного спіну поодинці майже не впливає на них — кількість кроків, необхідних для створення статистично незалежної конфігурації, різко зростає, коли T наближається до T_c, проблему називають критичним уповільненням. Алгоритми кластерів, такі як Волфф і Швендсен–Ванг, обходять це, виявляючи та перевертаючи цілі кластери спінів, узгоджених за відповідною кутійною ймовірністю, в одному кроці, що дозволяє моделям залишатися близько до точки Кюрі.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Ising Model і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.