Julia Sets: Комплексна динаміка та зв’язок Мандельброта

Одна формула, що ітерується назавжди

І Джуліанова множина, і множина Мандельброта походять від одного абсурдно короткого рецепту: оберіть комплексне число z, повторно замінюйте його на z² + c, і спостерігайте, що відбувається. Для Джуліанової множини з фіксованим параметром c ви скануєте площину початкових точок z₀ та запитуєте, чи залишається орбіта для кожної з них обмеженою назавжди або врешті-решт покидає її до нескінченності. Для множини Мандельброта ви замінюєте початкову точку z₀ = 0 та скануєте площину параметрів c, ставлячи той самий запит про те, чи покидає орбіта кожної з них межі до нескінченності.

z₀ = (starting point, Julia)  or  0 (Mandelbrot)
z_{n+1} = z_n² + c
if |z_n| > 2 for some n, the orbit escapes — it will diverge to infinity

Алгоритм виходу

У практиці жоден комп’ютер не ітерується назавжди. Симуляція обмежує кількість ітерацій певним максимальним значенням (кілька сотень ітерацій), і для кожного пікселя вона ітерує формулу до тих пір, поки амплітуда z не перевищиє 2 — у цьому випадку орбіта визнано небезпечною та обов’язково розійдеться — або вичерпається бюджет ітерацій, тоді точка вважається належною до обмеженого множини. Забарвлення кожного ‘вирваного’ пікселя тим, скільки ітерацій він витримав, а не просто чорним чи білим, перетворює межу на гладку, насичено забарвлену смужку, яку всі знають.

for each pixel (x, y):
  z = complex(x, y)          // Julia: fixed c, varying z0
  for n in 0..maxIter:
    if |z| > 2: colour(pixel, n); break
    z = z*z + c
  else: colour(pixel, "in set")

Чому дві множини пов'язані

Зв’язок не є випадковістю: для заданого c, множина Юліа є зв’язною (одна тверда крапля) точно тоді, коли орбіта 0 під z² + c залишається обмеженою — тобто, коли c саме належить множині Мандельброта. Виберіть c глибоко всередині множини Мандельброта і її множина Юліа буде єдиним зв’язним об’єктом; виберіть c зовні і множина Юліа розпадається на нескінченний, відокремлений від один одного набір точок, технічно названий Канторомським набором. Це пояснює, чому натискання навколо множини Мандельброта для вибору c, як дозволяє симуляція, насправді визначає, з якої з двох суттєво різних родин множин Юліа ви бачите.

Самоподібність без повторень

Збільшення в будь-який із наборів ніколи не досягає повторюваного візерунка, як у звичайному мозайці. Оскільки ітерація є однаковою нелінійною картою, яка застосовується на кожному рівні, структури поблизу межі віддзеркалюють форму всього набору в мініатюрі, трохи спотвореної кожного разу — це визначальний знак фрактальної межі, і причина, чому обидва набори виглядають безкінечно деталізованими незалежно від того, як далеко ви збільшуєте.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Julia Set і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.