Quantum Tunneling in 1D

Quantum Tunneling in 1D

The Ising model reduces a magnet to the simplest thing that can still show a phase transition: a grid of spins, each pointing up or down (+1 or −1), each one wanting to line up with its neighbours because that lowers the system’s energy. The energy of any configuration is the Hamiltonian below — J sets how strongly neighbours prefer to agree, and h is an external magnetic field nudging every spin the same way.

H = −J Σ⟨i,j⟩ s_i s_j − h Σ_i s_i neighbouring pairs external field term Left alone at high temperature, thermal jitter beats the coupling and spins point every which way — zero net magnetisation. Cooled below a critical temperature, the coupling wins and large patches of the lattice lock into agreement, giving a nonzero net magnetisation without any external field at all: spontaneous magnetisation, the same phenomenon that makes a bar of iron a permanent magnet below its Curie point.

H = −J Σ⟨i,j⟩ s_i s_j  −  h Σ_i s_i
       neighbouring pairs           external field term

Metropolis–Hastings: próbkowanie bez rozwiązywania

Dla dowolnej siatki większej niż kilkadziesiąt spinów, istnieje zbyt wiele konfiguracji do zliczenia, więc symulacja wykorzystuje metodę Monte Carlo: losowo wybierany spin, obliczana zmiana energii całkowitej w przypadku jego odwrócenia (ΔE), oraz odwrócenie go, jeśli obniża energię, lub w przeciwnym razie odwrócenie go z prawdopodobieństwem exp(−ΔE / kᵇT). Powtórzenie tego procesu milionami razy generuje konfiguracje rozłożone dokładnie zgodnie z rozkładem Boltzmanna w temperaturze T — bez konieczności obliczania (niemożliwie dużego) sumy normalizującej po wszystkich stanach.

pick random site i
ΔE = energy_if_flipped(i) - energy_now(i)
if ΔE <= 0 or random() < exp(-ΔE / (k*T)):
    flip(i)

Kryształowa temperatura i zjawiska krytyczne

Dla siatki kwadratowej o wymiarze 2D, Lars Onsager wyznaczył dokładną kryształową temperaturę w 1944 roku: kᵇT_c / J = 2 / ln(1 + √2), co daje wartość około 2,269. Nieco powyżej T_c siatka jest delikatnym, stale zmieniającym się patchworkiem małych domen; poniżej tej temperatury domeny zlewają się i rosną, aż jedna orientacja dominuje w całej strukturze. W pobliżu T_c długość korelacji – typowa wielkość zgodyj fragmentu – rozbiega się, a takie wielkości jak magnetyzacja i przenikalność magnetyczna podążają za prawami potęg w (T − T_c) z uniwersalnymi wykładnikami, które dzielone są przez bardzo różne systemy fizyczne, dlatego model Ising jest traktowany jako szablon dla przejść fazowych ogólnie, a nie tylko w przypadku magnetyzmu.

Understanding Spin Dynamics

The Metropolis algorithm can become extremely slow as the temperature approaches the critical temperature (T_c). This is because the system’s spins are strongly correlated, and small changes have little effect. To achieve statistical independence, the algorithm needs to make large adjustments, which requires many steps.

This phenomenon is known as ‘critical slowing down’. The larger the domains become, the more difficult it becomes to move them efficiently. Algorithms like Wolff and Swendsen–Wang address this by allowing for the simultaneous flipping of entire clusters of aligned spins, significantly reducing the number of steps needed to explore the configuration space near T_c.

These cluster algorithms maintain a level of control over the simulation, preventing the system from getting trapped in large, unmoving domains. This approach is crucial for maintaining computational efficiency and accurately simulating the behavior of the material as it approaches its critical temperature.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Ising Model i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.