Основна теорема аналізу

Формула Ньютона-Лейбніца — найглибший зв'язок математичного аналізу: визначений інтеграл обчислюється через первісну. Диференціювання і інтегрування — обернені операції.

mysimulator teamОновлено 2026≈ 3 хв читання▶ Open the simulation

∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a)

📖 Теорема та її дві частини

Частина 1: Первісна через інтеграл

Якщо f неперервна на [a, b], то функція

G(x) = ∫ₐˣ f(t)dt

є диференційовною, і G'(x) = f(x). Тобто диференціювання «скасовує» інтегрування.

Частина 2: Формула Ньютона-Лейбніца

Якщо F — первісна f на [a, b], то:

∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a) = F(x)|ₐᵇ

Позначення F(x)|ₐᵇ означає «підставити b, потім a і відняти».

💡 Ключова ідея

До XVII ст. площі під кривими (інтеграли) і нахили дотичних (похідні) здавалися абсолютно різними завданнями. Ньютон і Лейбніц незалежно відкрили: це обернені операції. Це відкриття перетворило аналіз на потужний інструмент науки і техніки.

Загальний алгоритм обчислення визначеного інтегралу

Знайти первісну F(x) підінтегральної функції f(x): F'(x) = f(x)
Підставити верхню межу: F(b)
Підставити нижню межу: F(a)
Обчислити різницю: F(b) − F(a)

Важливо: константа C при знаходженні первісної скорочується при відніманні F(b) − F(a), тому у визначеному інтегралі її не пишуть.

✏️ Приклади

📌 Приклад 1: Базовий визначений інтеграл

Обчислити ∫₁³ (2x + 1)dx 1. Первісна: F(x) = x² + x 2. F(3) = 9 + 3 = 12 3. F(1) = 1 + 1 = 2 4. ∫₁³ (2x + 1)dx = F(3) − F(1) = 12 − 2 = 10 ∫₁³ (2x + 1)dx = 10

📌 Приклад 2: Площа під параболою

Знайти площу фігури, обмеженої параболою y = x² та прямою y = 4 (між x = −2 і x = 2) S = ∫₋₂² (4 − x²)dx Первісна: F(x) = 4x − x³/3 F(2) = 8 − 8/3 = 16/3 F(−2) = −8 + 8/3 = −16/3 S = 16/3 − (−16/3) = 32/3 ≈ 10.67 S = 32/3 ≈ 10.67 кв.од.

📌 Приклад 3: Тригонометричний інтеграл

Обчислити ∫₀^(π/2) sin(x)dx Первісна: F(x) = −cos(x) F(π/2) = −cos(π/2) = 0 F(0) = −cos(0) = −1 ∫₀^(π/2) sin(x)dx = 0 − (−1) = 1 ∫₀^(π/2) sin x dx = 1

🌍 Застосування

📐 Геометрія: площі та об'єми

Площа плоскої фігури між кривими, об'єм тіла обертання, довжина дуги — всі ці задачі зводяться до обчислення визначених інтегралів за формулою Ньютона-Лейбніца.

🔭 Фізика

Шлях = ∫v dt, робота = ∫F dx, заряд = ∫I dt, імпульс = ∫F dt. Інтегрування — мова фізики для зв'язку миттєвих і сумарних величин.

📈 Економіка

Сумарний прибуток = ∫(граничний прибуток)dp, споживчий надлишок — інтеграл від функції попиту. Теорема є основою граничного аналізу.

🔬 Ймовірність

Ймовірність P(a ≤ X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x)dx для неперервного розподілу. Нормальний, експоненціальний, γ-розподіл — всі через формулу Ньютона-Лейбніца.

🧮 Калькулятор інтегралів → 🎯 Тренажер: інтеграли → 📄 Визначений інтеграл →

Спробуйте наживо

Дослідіть пов'язану модель на практиці: відкрийте Calculus Visualizer Derivatives Integrals і змінюйте параметри під час роботи. Усе лишається у вашому браузері.

▶ Відкрити симуляцію Calculus Visualizer Derivatives Integrals