e iφ = cos(φ) + i·sin(φ)

💎 Тотожність Ейлера

e^iπ + 1 = 0 «Найкрасивіша формула математики»

П'ять фундаментальних констант

Тотожність Ейлера поєднує п'ять найважливіших математичних констант в одному рівнянні:

e Число Ейлера 2.71828... i Уявна одиниця √(-1) π Пі 3.14159... 1 Одиниця Мультиплікативна 0 Нуль Адитивна

📐 Доведення через ряди

Формулу Ейлера можна довести, порівнявши ряди Тейлора для e^ix, cos(x) та sin(x):

Ряд Тейлора для експоненти:

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + ...

Підставляємо ix замість x:

e^ix = 1 + ix + (ix)²/2! + (ix)³/3! + (ix)⁴/4! + ...

Використовуємо степені i: i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1, ...

e^ix = 1 + ix - x²/2! - ix³/3! + x⁴/4! + ix⁵/5! - ...

Групуємо дійсні та уявні частини:

e^ix = (1 - x²/2! + x⁴/4! - ...) + i(x - x³/3! + x⁵/5! - ...)

Впізнаємо ряди косинуса та синуса:

e^ix = cos(x) + i·sin(x) ∎

🎯 Геометричний зміст

Комплексна площина

Число e^iφ представляє точку на одиничному колі в комплексній площині:

Дійсна частина: Re(e^iφ) = cos(φ) — горизонтальна координата
Уявна частина: Im(e^iφ) = sin(φ) — вертикальна координата
Модуль: |e^iφ| = 1 — точка завжди на одиничному колі
Аргумент: arg(e^iφ) = φ — кут повороту від осі Re

e^iπ = cos(π) + i·sin(π) = -1 + 0 = -1 При φ = π отримуємо точку (-1, 0) — звідси e^iπ = -1

✏️ Приклади

Приклад 1: Обчислення e^iπ/2

Знайти значення e^iπ/2

За формулою Ейлера:

e^iπ/2 = cos(π/2) + i·sin(π/2)

= 0 + i·1

e^iπ/2 = i

Приклад 2: Множення комплексних чисел

Помножити z₁ = 2e^iπ/3 на z₂ = 3e^iπ/6

При множенні модулі множаться, аргументи додаються:

z₁·z₂ = 2·3 · e^{i(π/3 + π/6)}

= 6 · e^{i(2π/6 + π/6)} = 6 · e^iπ/2

z₁·z₂ = 6e^iπ/2 = 6i

Приклад 3: Формули для cos та sin

Виразити cos(x) через експоненти

З формули Ейлера: e^ix = cos(x) + i·sin(x)

Для від'ємного x: e^-ix = cos(x) - i·sin(x)

Додаємо: e^ix + e^-ix = 2cos(x)

cos(x) = (e^ix + e^-ix)/2

🎯 Застосування

📡 Електротехніка

Аналіз змінного струму, комплексний опір, фазові діаграми сигналів

🌊 Обробка сигналів

Перетворення Фур'є базується на формулі Ейлера для аналізу частот

⚛️ Квантова механіка

Хвильові функції, оператори обертання, спін частинок

🎮 Комп'ютерна графіка

Обертання 2D об'єктів, фрактали, процедурна генерація

🔐 Криптографія

Алгоритми на еліптичних кривих, комплексна арифметика

🎵 Музика та акустика

Аналіз звукових хвиль, синтез звуку, частотний аналіз

� Формула Муавра

Піднесення до степеня

З формули Ейлера випливає формула Муавра для піднесення комплексного числа до степеня:

(cos φ + i·sin φ)ⁿ = cos(nφ) + i·sin(nφ) Для будь-якого цілого n

Корені n-го степеня з одиниці

Рівняння zⁿ = 1 має рівно n комплексних коренів:

z_k = e^i·2πk/n = cos(2πk/n) + i·sin(2πk/n) k = 0, 1, 2, ..., n-1 — n рівномірно розташованих точок на одиничному колі

Приклад 4: Кубічні корені з 1

Знайти всі z: z³ = 1

z₀ = e^i·0 = 1

z₁ = e^i·2π/3 = cos(120°) + i·sin(120°) = -1/2 + i√3/2

z₂ = e^i·4π/3 = cos(240°) + i·sin(240°) = -1/2 - i√3/2

z = {1, -1/2 + i√3/2, -1/2 - i√3/2}

🌊 Гіперболічні функції

Формула Ейлера дозволяє зв'язати тригонометричні та гіперболічні функції:

cos(x) = (e^ix + e^-ix)/2
sin(x) = (e^ix - e^-ix)/2i Тригонометричні функції через експоненти ch(x) = (e^x + e^-x)/2
sh(x) = (e^x - e^-x)/2 Гіперболічні функції — «родичі» тригонометричних

Зв'язок: cos(ix) = ch(x), sin(ix) = i·sh(x)

✏️ Додаткові приклади

Приклад 5: Значення iⁱ

Обчислити iⁱ

Запишемо i в показниковій формі: i = e^iπ/2

iⁱ = (e^iπ/2)ⁱ = e^i·i·π/2 = e^-π/2

iⁱ = e^-π/2 ≈ 0.2079 — дійсне число!

Приклад 6: Формула Муавра

Обчислити (1 + i)⁸

1 + i = √2 · e^iπ/4 (модуль √2, аргумент π/4)

(1 + i)⁸ = (√2)⁸ · e^i·8π/4 = 16 · e^i·2π

e^i·2π = cos(2π) + i·sin(2π) = 1

(1 + i)⁸ = 16

Приклад 7: Перетворення Фур'є

Суть зв'язку формули Ейлера з аналізом сигналів

Перетворення Фур'є розкладає сигнал на частоти:

F(ω) = ∫ f(t)·e^-iωt dt = ∫ f(t)·[cos(ωt) - i·sin(ωt)] dt

Дійсна частина — амплітуда косинусної складової, уявна — синусної.

Формула Ейлера — математична основа обробки сигналів

⚠️ Типові помилки

Плутають e^iπ = -1 з e^iπ = 1 (знак!)
Забувають, що i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1 (циклічність степенів i)
При множенні комплексних чисел: модулі множаться, аргументи ДОДАЮТЬСЯ (не множаться)
При діленні: модулі діляться, аргументи ВІДНІМАЮТЬСЯ
Формула Муавра для ЦІЛИХ степенів; для дробових — є n різних значень
cos(x) і sin(x) — обмежені для дійсних x, але НЕ обмежені для комплексних

�📜 Леонард Ейлер (1707-1783)

Леонард Ейлер — швейцарський математик, один з найплодовитіших вчених в історії. Він опублікував формулу e^ix = cos(x) + i·sin(x) у 1748 році в роботі "Introductio in analysin infinitorum".

Ейлер зробив фундаментальний внесок практично в усі галузі математики: аналіз, теорію чисел, геометрію, механіку, оптику, астрономію. Його ім'я носять десятки формул, теорем та констант.

Спробуйте наживо

Дослідіть пов'язану модель на практиці: відкрийте Fourier Series Interactive Phasor & Harmonic Decomposition і змінюйте параметри під час роботи. Усе лишається у вашому браузері.

▶ Відкрити симуляцію Fourier Series Interactive Phasor & Harmonic Decomposition

Формула Ейлера