FDTD: Моделювання рівнянь Максвелла

У рівняння Максвелла, дискретизовані

Для 2D трансверзальної магнітної хвилі з компонентами поля E_z, H_x та H_y, рівняння Максвелла для обертання (curl) перетворюються у три закорельовані часткові диференціальні рівняння. Метод кінцених різниць у часі (FDTD), представлений Кейном Йі в 1966 році, замінює кожну похідну на кінцеву різницю на сітці та просто виконує ці рівняння вперед у часі – без перетворень Фур'є, без припущень щодо геометрії, лише застосовується локальне правило оновлення в кожному місці одночасно:

∂H_x/∂t = -(1/μ) * ∂E_z/∂y
∂H_y/∂t =  (1/μ) * ∂E_z/∂x
∂E_z/∂t =  (1/ε) * (∂H_y/∂x - ∂H_x/∂y)

жива демонстрація · пов'язана симуляція● LIVE

Йіе́-сетка: чому вона залишається точною безкоштовно

Хитрість Йії полягає у розміщенні компонентів E та H на зміщених позиціях: H_x і H_y знаходяться наполовину від одного комірки відстані від E_z у просторі, а також оцінюються наполовину від часу пізніше за неї — це стрибок у часі як у просторі. Кожна похідна тоді стає простою, симетричною центральною різницею, яка є точною з другого порядку без додаткової роботи:

H_x[i,j]^(n+1/2) = H_x[i,j]^(n-1/2) - (dt/(μ*dy)) * (E_z[i,j+1]^n - E_z[i,j]^n)
E_z[i,j]^(n+1)   = E_z[i,j]^n + (dt/ε) * ( (H_y[i,j]-H_y[i-1,j])/dx
                                                  - (H_x[i,j]-H_x[i,j-1])/dy )

Умова стабільності Курранта – Фрідріхса – Леві

Крок часу не можна вибирати вільно: інформація не повинна проходити більше одного елемента сітки за крок, або схема розбіжна. У двовимірному випадку межа Курранта–Фрідріхса–Леві така:

dt ≤ dx / (c * sqrt(2)) (2D, квадратна сітка, c = швидкість світла в середі) Якщо трохи збільшити крок часу за цю межу, симуляція не просто втрачає точність — вона експоненціально руйнується протягом кількох кроків, оскільки сама чисельна схема стає нестабільною, а не просто неточною.

dt ≤ dx / (c * sqrt(2))          (2D, square grid, c = speed of light in the medium)

Межі: ідеальні дзеркала проти відкритого простору

Змушення E_z = 0 вздовж лінії комірок моделює ідельно провідний метал (ІПМ): хвиля, що потрапляє на нього, повністю відбивається, що точно відповідає тому, як інструмент "paint PEC reflectors" будує дзеркала та стіни з прорізами. Але симуляційний ящик, призначений для представлення відкритого простору, не може просто зупинятися на своєму краю – тверда стіна там відбивала б усі хвилі назад як шум. Стандартним рішенням є ідеально підкований шар (ІПШ), штучної поглинаючої області навколо краю, імпеданс якої розраховано так, щоб відповідати вільному простору під косими кутами падіння, щоб хвилі проходили в неї та зникали, а не відбивалися назад.

Дифракция и интерференция бесплатно

Ничего в вышеуказанном правиле обновления не знает о щелях, линзах или интерференции — оно знает только локальные значения поля на одну ячейку. Однако, если покрасить два узких проема в стенке PEC, появятся собственные дифракционные полосы от двойного сलिट, потому что каждая точка во фронте реально является вторичным источником по гипотезе Гюйгенса, точно так же, как предсказывает классическая конструкция волнового фронта. Это и есть настоящая выгода от непосредственного решения уравнений поля на сетке вместо ручной разработки дифракционной формулы: любая геометрия — линза, призма, антенна — автоматически генерирует свой собственный правильный дифракционный и интерференционный узор.

Frequently asked questions

Чому моделювати Максвелів рівняння на сітці замість того, щоб розв’язувати їх точно?

Точні замкнені аналітичні рішення для Максвелів рівнянь існують лише для невеликої кількості спеціальних геометрій. FDTD працює для практично будь-якої форми чи розташування матеріалів, оскільки він оцінює лише один локальний оновлюючий правило комірки за коміркою, дозволяючи складним ефектам, таким як дифракція та інтерференція, виникати з моделювання, а не виводитися вручну для кожної нової геометрії.

Чому уточнення сітки змушує зменшити час кроку?

Умова стабільності Коранта пов’язує максимальний стабільний час кроку безпосередньо з розміром комірки через швидкість світла: dt має залишатися нижчим приблизно в кілька разів, ніж dx поділене на c, помножене на геометричний коефіцієнт. У половину зменшення розміру комірки потрібно пропорційно зменшити час кроку, інакше моделювання стане чисельно нестабільним.

Як з’являється візерунок інтерференції подвійного провалу без кодування будь-якої формули інтерференції?

Кожна комірка сітки просто дотримується одного й того ж локального оновлюючого правила Максвела. Коли фронт хвилі досягає стіни з двох отворів, кожен отвір стає новим джерелом відправних фронтів виключно тому, що значення поля там не дорівнюють нулю, і візерунок інтерференції є просто сумою цих двох фронтів, які перетинаються, глобальний наслідок суперпозиції, а не особливий випадок у коді.

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте EM Wave Simulator і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.

▶ Відкрити симуляцію EM Wave Simulator

FDTD: Моделювання рівнянь Максвелла на сітці Yee