Резонанс ЛЦ-circuits

Три компоненти, одна друга рівняння резонансу

Серійна схема RLC — це резистор, індуктор і конденсатор в одному ланцюгу, яка регулюється законом Кірхгофа про напруги: джерельна напруга дорівнює сумі падінь на всі три частини. Вираження падінь через заряд Q у конденсаторі (I = dQ/dt) дає одну лінійну другу чергу звичайного диференціального рівняння, точно таку ж форму, як і у демпфованого механічного осцилятора:

L * d²Q/dt²  +  R * dQ/dt  +  Q/C  =  V(t)
         (inertia)        (damping)      (restoring force)

жива демонстрація · пов'язана симуляція● LIVE

Природна частота та коефіцієнт гасіння

Встановлення V(t) = 0 дає вільний розв’язок. Дві величини контролюють все, що визначає його форму: незбагнена природна (кутчаста) частота ω та коефіцієнт гасіння ζ

ω = 1 / sqrt(L * C) ζ = (R / 2) * sqrt(C / L) Коли ζ 1 вона є перегашеною: вона повільно ковзає назад до нуля, також без осцилювання, оскільки термін опору домінує в динаміці і не залишається жодного коливального компонента.

ω₀ = 1 / sqrt(L * C)
ζ    = (R / 2) * sqrt(C / L)

Приведення резонансу та імпеданс

Приводьте схему з синусоїдальним джерелом на кутовій частоті ω, і стаціонарна відповідь визначається комплексним імпедансом:

Z(ω) = R + j * (ωL - 1/ωC) |Z(ω)| мінімізовано та дорівнює R, коли ω = ω₀ При резонансі індуктивні та ємнісні реактивності точно компенсуються, схема виглядає чисто опірною, і амплітуда струму досягає максимуму для заданої напруги живлення. Наскільки гостро цей пік залежить від коефіцієнту якості Q = ωL / R = (1/R)√(L/C): високоякісна схема має вузький, високий резонансний пік і ширину смуги приблизно ω/Q, а низькоякісна схема має широкий, неглибокий, що відповідає співвідношенню енергії, що зберігається в схемі, до енергії, що втрачається за цикл — чим менший опір витісняє енергію за кожен цикл, тим більше циклів вібрація виживає, і чим гострішим є резонанс.

Z(ω) = R + j * (ωL - 1/(ωC))
|Z(ω)| is minimised, and equal to R, exactly when ω = ω₀

Чому ці самі три літери з’являються скрізь

Рівняння RLC математично ідентичне масі на пружині з тертям (L є інерцією, 1/C – жорсткістю, R – тертям), тому інтуїція з однієї безпосередньо переноситься на іншу. Його найпрямі практичне застосування – налаштування: регуляційний диск старої аналогової радіостанції фізично змінює C (або L) в RLC-схемі, щоб змістити ω до потрібної частоти носія, так що сигнал бажаної станції резонує сильно, а всі інші частоти пригнічуються – пасивний фільтр смугового пропускання, побудований з трьох пасивних компонентів та кривої резонансу.

Frequently asked questions

Що визначає, чи буде схема гудіти або просто тихо затихати?

Коефіцієнт гасіння (ζ) = (R/2)*sqrt(C/L). Якщо він менше 1, схема буде підкорельованою та коливатиметься декілька разів, поступово згасаючи; якщо дорівнює точно 1, вона буде критично коерельованою та повернеться до нуля якомога швидше без перебільшення; якщо більше 1, вона буде перекорельованою та повільно буде наближатися до нуля, також без перебільшення.

Чому струм досягає піку точно на резонансній частоті?

Це тому, що індуктивне опірність (ω*L) та ємнісна опірність 1/(ω*C) рівні за знаком і дорівнюють одна одній точно при ω0 = 1/sqrt(LC), отже вони скасовуються в імпедансі, залишаючи лише опір R. Мінімальний імпеданс для заданої напруги живлення означає максимальний струм.

Що саме вимірює коефіцієнт Q?

Він вимірює, наскільки гостро пік резонансу, що дорівнює ω0*L/R або приблизно 2*pi рази відношенню енергії, яка зберігається в схемі, до енергії, що розсіюється за цикл. Високий коефіцієнт Q означає вузький, високий пік резонансу та гучний звук, який поступово згасає; низький коефіцієнт Q означає широкий, неглибокий пік, який швидко затихає.

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте RLC Circuit Resonance і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.

▶ Відкрити симуляцію RLC Circuit Resonance

Резонанс ЛЦ-circuits: Загасання, Резонансний гул та Налаштування