FDTD: Symulowanie Równań Maxwella

Równania rotora Maxwella, dyskretyzowane

Dla fali przenikającej prostopadłej 2D z komponentami pola E_z, H_x i H_y, równania rotora Maxwella redukują się do trzech sprzężonych równań różniczkowych cząstkowych. Metoda FDTD (Finite-Difference Time-Domain), wprowadzona przez Kane Yee w 1966 roku, zastępuje każdy człon pochodnej różnicą skończoną na siatce i po prostu kroi te równania do przodu w czasie – bez transformacji Fouriera, bez założonej geometrii, tylko lokalna zasada aktualizacji stosowana wszędzie naraz:

∂H_x/∂t = -(1/μ) * ∂E_z/∂y
∂H_y/∂t =  (1/μ) * ∂E_z/∂x
∂E_z/∂t =  (1/ε) * (∂H_y/∂x - ∂H_x/∂y)

demo na żywo · powiązana symulacja● LIVE

Siatka Yee: dlaczego pozostaje dokładna

Trójkąt Yee polega na umieszczeniu komponentów E i H w przesuniętych pozycjach: H_x i H_y znajdują się o połowę komórki od E_z w przestrzeni, a także są oceniane o połowę kroku czasowego względem niej – to skokowy krok czasowy oraz w przestrzeni. Każda pochodna staje się wtedy prostą, symetryczną różnicą centralną drugiego rzędu, bez dodatkowej pracy:

H_x[i,j]^(n+1/2) = H_x[i,j]^(n-1/2) - (dt/(μ*dy)) * (E_z[i,j+1]^n - E_z[i,j]^n)
E_z[i,j]^(n+1)   = E_z[i,j]^n + (dt/ε) * ( (H_y[i,j]-H_y[i-1,j])/dx
                                                  - (H_x[i,j]-H_x[i,j-1])/dy )

Warunek stabilności Couranta

Krok czasowy nie może być wybrany dowolnie: informacja nie powinna przekraczać więcej niż jednej komórki siatki na krok, w przeciwnym razie schemat wypada z równowagi. W dwóch wymiarach warunek Courant–Friedrichs–Lewego wynosi:

dt ≤ dx / (c * sqrt(2)) (2D, siatka kwadratowa, c = prędkość światła w ośrodku) Nawet minimalne przekroczenie tego limitu powoduje, że symulacja nie tylko traci dokładność – wybuchająca ona wykładniczo w ciągu kilku kroków, ponieważ sam schemat numeryczny staje się niestabilny, a nie po prostu niedokładny.

dt ≤ dx / (c * sqrt(2))          (2D, square grid, c = speed of light in the medium)

Granice: idealne lustra kontra otwarte przestrzeń

Modelowanie E_z = 0 wzdłuż linii komórki symulacji odwzorowuje idealnego przewodnika elektrycznego (PEC): fala uderzająca w niego odbija się całkowicie, co dokładnie odzwierciedla działanie narzędzia "lustra PEC", które buduje lustra i przegrody. Jednakże, pudełko symulacyjne mające na celu reprezentację otwartej przestrzeni nie może po prostu zakończyć się na krawędzi - twarda ściana w tym miejscu odbijała by każdą wychodzącą falę jako szum. Standardowe rozwiązanie to warstwa idealnie dopasowana (PML), szturchnie absorbujące obszar wokół brzegu, którego impedancja jest zaprojektowana tak, aby pasowała do swobodnego przestrzeni pod każdym kątem padania, dzięki czemu fale wchodzą do niej i zanikają zamiast odbijać się z powrotem.

Dyfrakcja i interferencja bezpłatnie

Nic w powyższym regule aktualizacji nie wie o szczelinach, soczewkach ani interferencji – zna się tylko lokalne wartości pola na jedną komórkę dalej. Jednak, jeśli wykonasz dwie wąskie szczeliny w ścianie PEC, pojawią się własne obwody interferencyjne podwójnych szczelin, ponieważ każdy punkt na fali czystej rzeczywiście działa jako drugorzędny źródło Huygensa, dokładnie tak jak przewiduje klasyczna konstrukcja falowej. To jest prawdziwa korzyść z rozwiązywania równań pola bezpośrednio na siatce zamiast ręcznego wprowadzania wzoru dyfrakcyjnego: każda geometria – soczewka, pryzmat, antena – automatycznie generuje swój własny prawidłowy wzór dyfrakcji i interferencji.

Frequently asked questions

Dlaczego symulować równania Maxwella na siatce zamiast rozwiązywać je dokładnie?

Dokładne rozwiązania analityczne dla równań Maxwella istnieją tylko dla niewielkiej liczby specjalnych geometrii. Metoda FDTD działa dla zasadniczo dowolnego kształtu lub ułożenia materiałów, ponieważ ocenia jedynie tę samą lokalną regułę aktualizacji komórki po komórce, pozwalając złożonym efektom takim jak dyfrakcja i interferencja wyłonić się z symulacji zamiast być wyprowadzane ręcznie dla każdej nowej geometrii.

Dlaczego pogłębianie siatki wymusza mniejszy krok czasowy?

Warunek stabilności Couranta wiąże maksymalny stabilny krok czasowy bezpośrednio z rozdzielczością siatki poprzez prędkość światła: dt musi pozostać poniżej w przybliżeniu dx podzielonego przez c razy czynnik geometryczny. Podwojenie rozmiaru komórki dla większej dokładności przestrzennej oznacza, że krok czasowy musi się zmniejszyć odpowiednio, w przeciwnym razie symulacja stanie się numerycznie niestabilna.

Jak pojawia się wzorzec interferencji podwójnego szczelin bez kodowania jakiejkolwiek formuły interferencyjnej?

Każda komórka siatki po prostu przestrzega tej samej lokalnej reguły aktualizacji Maxwella. Kiedy faza dociera do ściany z dwoma szczelinami, każda szczelina staje się nowym źródłem wychodzącej fazy wyłącznie dlatego, że wartości pola tam są niezerowe, a wzorzec interferencji jest po prostu sumą tych dwóch faz, będąca globalną konsekwencją superpozycji zamiast specjalnym przypadkiem w kodzie.

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz EM Wave Simulator i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.

▶ Otwórz symulację EM Wave Simulator

FDTD: Symulowanie Równań Maxwella na Siatce Yee