f'(x) = lim Δx→0 [f(x + Δx) - f(x)] / Δx

📚 Визначення

Геометричний зміст

Похідна функції f(x) в точці x₀ дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в цій точці:

f'(x₀) = tan(α) де α — кут нахилу дотичної до осі Ox

Фізичний зміст

Якщо s(t) — шлях, пройдений тілом за час t, то похідна s'(t) дорівнює миттєвій швидкості:

v(t) = s'(t) = ds/dt Швидкість — похідна від переміщення за часом

Аналогічно, прискорення — це похідна від швидкості: a(t) = v'(t) = s''(t)

📐 Правила диференціювання

Правило	Формула	Опис
Константа	(c)' = 0	Похідна константи дорівнює нулю
Степенева	(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹	Степінь виноситься, показник зменшується на 1
Сума	(f + g)' = f' + g'	Похідна суми = сума похідних
Добуток	(f·g)' = f'·g + f·g'	Правило Лейбніца
Частка	(f/g)' = (f'·g - f·g')/g²	Для дробів
Складна функція	(f(g(x)))' = f'(g)·g'(x)	Правило ланцюга (chain rule)

📋 Таблиця похідних

f(x) = xⁿ f'(x) = n·xⁿ⁻¹ f(x) = eˣ f'(x) = eˣ f(x) = aˣ f'(x) = aˣ·ln(a) f(x) = ln(x) f'(x) = 1/x f(x) = sin(x) f'(x) = cos(x) f(x) = cos(x) f'(x) = -sin(x) f(x) = tan(x) f'(x) = 1/cos²(x) f(x) = √x f'(x) = 1/(2√x) f(x) = arcsin(x) f'(x) = 1/√(1-x²) f(x) = arctan(x) f'(x) = 1/(1+x²)

✏️ Приклади

Приклад 1: Поліноміальна функція

Знайти похідну: f(x) = 3x⁴ - 2x³ + 5x - 7

Застосовуємо правило суми та степеневу формулу:

f'(x) = 3·4x³ - 2·3x² + 5·1 - 0

f'(x) = 12x³ - 6x² + 5

Приклад 2: Правило добутку

Знайти похідну: f(x) = x²·sin(x)

Застосовуємо правило добутку: (u·v)' = u'·v + u·v'

u = x², u' = 2x

v = sin(x), v' = cos(x)

f'(x) = 2x·sin(x) + x²·cos(x)

Приклад 3: Складна функція

Знайти похідну: f(x) = sin(3x² + 1)

Застосовуємо правило ланцюга:

Зовнішня функція: sin(u), її похідна: cos(u)

Внутрішня функція: u = 3x² + 1, її похідна: 6x

f'(x) = cos(3x² + 1)·6x

f'(x) = 6x·cos(3x² + 1)

Приклад 4: Правило частки

Знайти похідну: f(x) = (x² + 1) / (x - 3)

Застосовуємо правило частки: (u/v)' = (u'v - uv')/v²

u = x² + 1, u' = 2x; v = x - 3, v' = 1

f'(x) = (2x(x-3) - (x²+1)·1) / (x-3)²

= (2x² - 6x - x² - 1) / (x-3)²

f'(x) = (x² - 6x - 1) / (x - 3)²

Приклад 5: Показниково-степенева функція

Знайти похідну: f(x) = x^x

Логарифмічне диференціювання: ln(f) = x·ln(x)

f'/f = ln(x) + x·(1/x) = ln(x) + 1

f' = f · (ln(x) + 1) = x^x(ln(x) + 1)

f'(x) = x^x·(ln(x) + 1)

📈 Похідні вищих порядків

Означення

Похідна від похідної — це друга похідна, і так далі:

f''(x) = (f'(x))', f'''(x) = (f''(x))', ..., f⁽ⁿ⁾(x) Фізичний зміст: f'' = прискорення, f''' = ривок (jerk)

Формула Лейбніца для n-ї похідної добутку:

(f·g)⁽ⁿ⁾ = Σ_k=0ⁿ C(n,k) · f^(k) · g^(n-k) Аналог біному Ньютона для похідних

🔄 Неявне та параметричне диференціювання

Неявна функція

Якщо y задана рівнянням F(x,y) = 0, диференціюємо обидві частини по x:

y' = -F'_x / F'_y

Приклад 6: Неявна функція

Знайти y' для кола: x² + y² = 25

Диференціюємо: 2x + 2y·y' = 0

y' = -2x/(2y) = -x/y

y' = -x/y

Параметричне диференціювання

Якщо x = x(t) і y = y(t):

y'_x = y'_t / x'_t Похідна y по x через параметр t

🎯 Дослідження функції

Екстремуми

Алгоритм знаходження екстремумів:

1. Знайти f'(x) = 0 → критичні точки
2. Перевірити f''(x₀): якщо f'' > 0 → мінімум, f'' < 0 → максимум
3. Якщо f'' = 0 → перевірка зміни знаку f'

Опуклість та точки перегину

f''(x) > 0 → опукла донизу (∪)
f''(x) < 0 → опукла догори (∩) Точка перегину: f''(x₀) = 0 і f'' змінює знак

Правило Лопіталя

Для невизначеностей 0/0 або ∞/∞:

lim_x→a f(x)/g(x) = lim_x→a f'(x)/g'(x) Якщо lim f = lim g = 0 (або ∞), і права границя існує

Приклад 7: Знаходження екстремуму

Знайти екстремуми f(x) = x³ - 3x + 2

f'(x) = 3x² - 3 = 0 → x² = 1 → x = ±1

f''(x) = 6x

f''(-1) = -6 < 0 → максимум, f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4

f''(1) = 6 > 0 → мінімум, f(1) = 1 - 3 + 2 = 0

max: (-1, 4), min: (1, 0)

Приклад 8: Правило Лопіталя

Знайти lim_x→0 sin(x)/x

Невизначеність 0/0. Застосовуємо Лопіталя:

lim = lim_x→0 cos(x)/1 = cos(0) = 1

lim sin(x)/x = 1

📏 Рівняння дотичної та нормалі

Дотична: y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀)
Нормаль: y - y₀ = -1/f'(x₀) · (x - x₀) Нормаль перпендикулярна до дотичної

⚠️ Типові помилки

Забувають помножити на похідну внутрішньої функції (chain rule): (sin(2x))' = 2cos(2x), а не cos(2x)
Плутають (f·g)' = f'·g' — неправильно! Правило добутку: f'·g + f·g'
(e^x)' = e^x, але (e^2x)' = 2e^2x (не e^2x)
(ln x)' = 1/x, але (ln 2x)' = 1/x (не 1/2x) — через ln(2x) = ln2 + lnx
f'(x₀) = 0 не завжди означає екстремум (наприклад x³ у точці 0)
Правило Лопіталя застосовне лише при невизначеностях 0/0 або ∞/∞

🎯 Застосування

📈 Оптимізація

Знаходження максимумів та мінімумів функцій. Екстремум досягається там, де f'(x) = 0.

🚀 Фізика руху

Швидкість — похідна від переміщення, прискорення — похідна від швидкості.

💰 Економіка

Граничні витрати, граничний дохід, еластичність попиту — все через похідні.

🤖 Machine Learning

Градієнтний спуск — оптимізація нейронних мереж через похідні функції втрат.

Спробуйте наживо

Дослідіть пов'язану модель на практиці: відкрийте Derivative Visualizer і змінюйте параметри під час роботи. Усе лишається у вашому браузері.

▶ Відкрити симуляцію Derivative Visualizer