∫ a b f(x)dx = F(b) - F(a)

📚 Визначення

Формула Ньютона-Лейбніца

Якщо F(x) — первісна функції f(x) на відрізку [a, b], тобто F'(x) = f(x), то:

∫_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) = F(x) |_a^b де a — нижня межа, b — верхня межа інтегрування

Геометричний зміст

Визначений інтеграл дорівнює площі криволінійної трапеції — фігури, обмеженої:

графіком функції y = f(x) зверху
віссю Ox знизу
прямими x = a та x = b з боків

S = ∫_a^b f(x)dx Площа під графіком функції на відрізку [a, b]

📐 Властивості

∫_a^a f(x)dx = 0 Інтеграл по точці дорівнює нулю
∫_a^b f(x)dx = -∫_b^a f(x)dx При перестановці меж знак змінюється
∫_a^b [f(x) + g(x)]dx = ∫_a^b f(x)dx + ∫_a^b g(x)dx Адитивність за підінтегральною функцією
∫_a^b c·f(x)dx = c·∫_a^b f(x)dx Константу можна виносити за знак інтеграла
∫_a^b f(x)dx = ∫_a^c f(x)dx + ∫_c^b f(x)dx Адитивність за проміжком інтегрування

🔧 Методи обчислення

Табличне інтегрування

Використання таблиці первісних для базових функцій

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C

Заміна змінної

Введення нової змінної t = g(x) для спрощення інтеграла

∫ f(g(x))·g'(x)dx = ∫ f(t)dt

Інтегрування частинами

Для інтегралів типу поліном × експонента

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

Метод трапецій

Чисельне наближення площі трапеціями

∫ ≈ h/2 · (y₀ + 2y₁ + ... + yₙ)

✏️ Приклади

Приклад 1: Базовий інтеграл

Обчислити: ∫₀² x² dx

Первісна для x²: F(x) = x³/3

За формулою Ньютона-Лейбніца:

∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 2³/3 - 0³/3 = 8/3 - 0

∫₀² x² dx = 8/3 ≈ 2.667

Приклад 2: Тригонометричний інтеграл

Обчислити: ∫₀^π sin(x) dx

Первісна для sin(x): F(x) = -cos(x)

∫₀^π sin(x) dx = [-cos(x)]₀^π = -cos(π) - (-cos(0))

= -(-1) - (-1) = 1 + 1

∫₀^π sin(x) dx = 2

Приклад 3: Площа під параболою

Знайти площу під графіком y = 4 - x² від x = -2 до x = 2

S = ∫₋₂² (4 - x²) dx = [4x - x³/3]₋₂²

= (4·2 - 8/3) - (4·(-2) - (-8)/3)

= (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 16 - 16/3

S = 32/3 ≈ 10.67 кв.од.

Приклад 4: Метод заміни змінної

Обчислити: ∫₀¹ x·e^x² dx

Заміна: t = x², dt = 2x dx → x dx = dt/2

Нові межі: x=0 → t=0, x=1 → t=1

∫₀¹ x·e^x² dx = ½ ∫₀¹ e^t dt = ½ [e^t]₀¹ = ½(e - 1)

∫₀¹ x·e^x² dx = (e - 1)/2 ≈ 0.859

Приклад 5: Інтегрування частинами

Обчислити: ∫₀^π x·cos(x) dx

u = x, dv = cos(x)dx → du = dx, v = sin(x)

∫₀^π x·cos(x)dx = [x·sin(x)]₀^π - ∫₀^π sin(x)dx

= (π·sin(π) - 0) - [-cos(x)]₀^π

= 0 - (-cos(π) + cos(0)) = -(1 + 1)

∫₀^π x·cos(x)dx = -2

Приклад 6: Площа між двома кривими

Знайти площу між y = x² та y = x

Точки перетину: x² = x → x(x-1) = 0 → x = 0, x = 1

На [0,1]: x ≥ x², тому S = ∫₀¹ (x - x²) dx

= [x²/2 - x³/3]₀¹ = 1/2 - 1/3 = 1/6

S = 1/6 ≈ 0.167 кв.од.

Приклад 7: Об'єм тіла обертання

Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням y = √x навколо Ox від x=0 до x=4

V = π ∫₀⁴ (√x)² dx = π ∫₀⁴ x dx

= π · [x²/2]₀⁴ = π · (16/2 - 0) = 8π

V = 8π ≈ 25.13 куб.од.

📏 Парні та непарні функції

Спрощення на симетричних проміжках

При інтегруванні на симетричному проміжку [-a, a]:

f(x) — парна: ∫_-a^a f(x)dx = 2∫₀^a f(x)dx Парна функція: f(-x) = f(x), наприклад x², cos(x) f(x) — непарна: ∫_-a^a f(x)dx = 0 Непарна функція: f(-x) = -f(x), наприклад x³, sin(x)

🔢 Чисельні методи

Метод прямокутників

Найпростіше наближення — сума площ прямокутників

∫ ≈ h · Σ f(xᵢ), h = (b-a)/n

Метод трапецій

Кожна ділянка наближується трапецією

∫ ≈ h/2 · (f₀ + 2f₁ + 2f₂ + ... + fₙ)

Метод Сімпсона (парабол)

Найточніший серед простих методів (n — парне)

∫ ≈ h/3 · (f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + ... + fₙ)

Порівняння точності

Для однакової кількості точок n:

Прямокутники: O(h²)
Трапеції: O(h²)
Сімпсон: O(h⁴)

∞ Невласні інтеграли

Нескінченні межі інтегрування

∫_a^∞ f(x)dx = lim_b→∞ ∫_a^b f(x)dx Якщо границя існує і скінченна — інтеграл збігається

Розривна підінтегральна функція

Якщо f(x) має розрив у точці c ∈ [a,b]:

∫_a^b f(x)dx = lim_ε→0⁺ ∫_a^c-ε f(x)dx + lim_δ→0⁺ ∫_c+δ^b f(x)dx

Приклад 8: Невласний інтеграл

Обчислити: ∫₁^∞ 1/x² dx

∫₁^∞ 1/x² dx = lim_b→∞ [-1/x]₁^b = lim_b→∞ (-1/b + 1) = 0 + 1

∫₁^∞ 1/x² dx = 1 (збігається)

⚠️ Типові помилки

Забувають підставити обидві межі (і верхню, і нижню) — F(b) мінус F(a)
При заміні змінної не змінюють межі інтегрування на нові значення
Забувають, що ∫_a^b f(x)dx може бути від'ємним (якщо f(x) < 0) — площа = |∫|
Площа між кривими: завжди ∫(верхня - нижня), а не навпаки
При обертанні навколо Oy формула інша: V = 2π ∫ x·f(x)dx (метод оболонок)
Плутають невизначений інтеграл (+ C) і визначений (конкретне число)

🎯 Застосування

📐 Площа фігури

Обчислення площ плоских фігур, обмежених кривими лініями

📦 Об'єм тіла

Об'єми тіл обертання: V = π∫f²(x)dx

📏 Довжина дуги

L = ∫√(1 + [f'(x)]²) dx

⚡ Робота сили

A = ∫F(x)dx — робота змінної сили

Спробуйте наживо

Дослідіть пов'язану модель на практиці: відкрийте Wind Farm: A Riemann Integral Simulation і змінюйте параметри під час роботи. Усе лишається у вашому браузері.

▶ Відкрити симуляцію Wind Farm: A Riemann Integral Simulation