Чому 45 Градусів – Найкращий Кут Стрільби

Кожен стрибок – це дві взаємодіючі рухливості

Коли крокодил вистрибує з берега річки, сила тяжіння та його початкова швидкість діють повністю незалежно одна від одної, і саме це розходження є головною таємницею проєктільної траєкторії. По боці, ніщо не притягує крокодила назад чи вперед, тому його горизонтальна швидкість залишається точно такою ж від зльоту до посадки. Вниз, сила тяжіння діє на нього з постійною величиною 9,8 метрів за секунду в квадраті протягом усього часу перебування в повітрі, незалежно від того, наскільки швидко він рухається горизонтально.

Галілей був першим, хто довів це чітко майже 400 років тому, коли кидав кулі з столів та вимірював час їх падіння.

Дві рівняння, що визначають все

Після того, як крокодил покидає берег зі швидкістю v та кутом θ відносно води, його горизонтальна та вертикальна позиції в будь-який пізніший час t слідують двом повністю окремим правилам:

x(t) = v * cos(θ) * t (в стороні: постійна швидкість) y(t) = v * sin(θ) * t - 0.5 * g * t² (вгору-вниз: постійний тягар прискорення сили тяжіння) Об'єднавши ці дві формули, отримано параболу – ту ж криву, що й для кинутої м’яча, забитого футбольного м’яча або крокодила, що перестрибує річку. Висота росте, сповільнюється, зупиняється на мить на найвищій точці, потім падає назад, прискорюючись протягом усього шляху, і завжди приземляється на тій самій висоті, з якої він відлітав, за рівно подвоєний час, що минув до досягнення піку.

x(t) = v · cos(θ) · t                     (sideways: constant speed)
y(t) = v · sin(θ) · t − ½ · g · t²      (up-down: constant pull of gravity)

Почему 45 градусов – волшебный угол?

Для заданной скорости запуска дальность прыжка (дальность) зависит от угла по формуле дальность = v² * sin(2θ)/g, где sin(2θ) максимален, равен 1, когда θ = 45 градусов. Именно поэтому 45 градусов дает самый большой возможный прыжок для любой заданной мощности – слишком низко и крокодил едва покидает воду, прежде чем снова упадет, а слишком круто большая часть его энергии уходит прямо вверх вместо того, чтобы двигаться вперед. Интересно, что любые две углы, которые в сумме равны 90 градусам (например, 30 и 60), приземляются на точно такое же расстояние, но с очень разными временами полета и высотами.

Більше потужності, більше відстані

Оскільки дальність залежить від квадрату швидкості (v²), подвоєння сили запуску крокодила більш ніж удвічі збільшує відстань, на яку він стрибає – фактично вона вчетверо збільшується, при однаковому куті. Ця квадратична залежність пояснює, чому тваринам, які повинні покривати велику відстань, або спортсменам у стрибках у довжину, так важливо генерувати додаткову швидкість при відриві – невеликі покращення швидкості приносять значно більший виграш, ніж невеликі покращення кута, коли вже досягнуто відносно 45 градусів.

Що дозволяє спробувати симуляція

Переміщуйте слайдери кута та потужності і спостерігайте, як застосовуються однакові правила кожного разу: горизонтальна лінія, яку покриває крокодил, розтягується або стискається з cos(θ) та v, а висота дуги зростає з sin(θ) та v. Спробуйте 20 градусів, 45 градусів і 70 градусів на одній потужності та порівняйте - стрибок на 45 градусах завжди має перенести крокодила найдалі по річці.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Crocodile Jump і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.