Чому звук барабана не такий чистий, як у струни

Барабанна мембрана: стоячі хвилі та візерунки Чла́дні

Натянута кругла мембрана, така як барабанне полотно, підкоряється двовимірній рівнянню хвилі: прискорення зміщення мембрани в будь-якій точці пропорційне кривизні поверхні навколо цієї точки, помноженій на швидкість хвилі c, яка сама по собі залежить від напруги мембрани та її маси на одиницю площі.

∂u/∂t² = c² ⋅ ∇²u в полярних координатах: ∂u/∂t² = c² [ ∂u/∂r² + (1/r) ⋅ ∂u/∂r + (1/r²) ⋅ ∂²u/∂θ² ] Оскільки барабан зафіксований на краю, зміщення має бути рівним нулю по всьому периметру кола в будь-який момент часу — це єдина умова, яка відбирає дискретну сім'ю дозволених форм з нескінченної кількості можливих вібраційних закономірностей.

∂²u/∂t² = c² · ∇²u
in polar coordinates:
∂²u/∂t² = c² [ ∂²u/∂r² + (1/r)·∂u/∂r + (1/r²)·∂²u/∂θ² ]

Функции Бесселя: природные формы барабана

Разделение переменных в полярных координатах разделяет решение на радиальную и угловую части, и радиальная часть удовлетворяет дифференциальному уравнению Бесселя, у которого хорошо себя ведут решения — функции Бесселя первого рода, J(r). Каждая естественная вибрационная мода барабана индексируется двумя целыми числами: m, число угловых нодусов (прямые линии через центр, где мембрана остается неподвижной), и n, число узлов круга (концентрические кольца неподвижности). Форма режима — J(k r) cos(m θ), а его частота определяется как k/R, где k — n-я нуль J_m, R — радиус барабана, и c — скорость волны.

u_{m,n}(r,θ,t) = J_m(k_{m,n} r) cos(m θ) cos(&omega_{m,n} t) ω_{m,n} = c k_{m,n} / R Это объясняет, почему настоящий барабан не похож на струну гитары. Овертоны струны падают в аккуратные целые кратные фундаментальной частоте (2f, 3f, 4f...), а частоты барабана, установленные неравномерными нулями функций Бесселя, не являются целыми кратным друг другу — второй режим примерно в 1.59 раза больше основного, третий примерно в 2.14 раза и так далее. Эта негармоничная интервалность является причиной того, что неподготовленная барабанная мембрана имеет гораздо менее четко определенную высоту звука, чем натянутая струна, и почему тимпаны нуждаются в тщательно настроенных, несимметричных мембранах для приближения своих самых сильных режимов к гармоническим соотношениям.

u_{m,n}(r,θ,t) = J_m(k_{m,n} · r) · cos(mθ) · cos(ω_{m,n} · t)
ω_{m,n} = c · k_{m,n} / R          (R = drum radius, k_{m,n} = n-th zero of J_m)

Чадні patterns стають видимими

Розсипте дрібний пісок або сіль на справжній вібруючу мембрану, і зерна відскакуватимуть від антинодів (де поверхня рухається найбільше) та збиратимуться точно вздовж ліній заломів — діаметрів і кіл, де вимірювання залишаються нульовими — таким чином відтворюючи форму режиму безпосередньо. Це — Чадні patterns, названі на честь Ернста Чадна, який демонстрував їх на вібруючих пластинах у 1787 році за допомогою скрипічного лука, за десятиліття до того, як хтось мав математику Бесселя, щоб пояснити, чому пісок збирається саме там, де він збирається.

Звукові колиски: що відбувається, коли два режими близькі за висотою

Заводьте дві частоти, близькі одна до одної, і мембрана не просто показує змішування обох форм миттєво; оскільки ці дві коливання відхиляються один від одного в фазі, сумарна амплітуда в будь-якій точці наростає та спадає на різницю між цими двома частотами – це повільне пульсуюче звучання або видиме тремтіння, яке називається «колісництвом». Це той самий феномен, який виникає при двох гітарних струнах, коли вони дуже незначно не збігаються за висотою, і на барабані це проявляється у вигляді частин візерунка Чладна, що ритмічно стають яскравішими та тьмянішими, оскільки ці два близькі режими обмінюються енергією відносно фаз.

Суміш: справжній удар в барабан – це одночасно багато модів

Ударте по барабану будь-де, крім центру, і ви одночасно збудите зважену суміш мод m,n, кожен з яких вібрує на власному природному частотному діапазоні та розпадається на власний темп (вищі моди зазвичай погашаються швидше). Те, що ми чуємо як єдиний перкусивний звук «туп», є лінійною сумішшю десятків цих власне числових модів, і які моди найбільш сильно збуджуються, а отже, який саме звук видає барабан, значною мірою залежить від того, де і наскільки сильно ви його вдаряєте – удар поблизу центру сприяє активації низьких вісьових симетричних мод, тоді як удар поза центром приводить до включення несиметричних мод з кутових нодних ліній.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Drum Membrane і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.