Повторення, яке Фермі не очікував

Комп’ютерний експеримент, який мав бути нудним

У 1955 році Енріко Фермі, Джон Паста, Станіслав Улам та Мері Цинґо провели один із перших комп’ютерних експериментів у фізиці на обчислювальному апараті MANIAC I: ланцюг мас, з’єднаних пружинами з невеликою нелінійною корекцією до закону Гука, що був запущений в одному низькочастотному режимі. Очікувалося, на основі статистичної механіки, що нелінійність поступово розповсюджуватиме енергію рівномірно по всіх вібраційних режимах ланцюга – процес, який називається тепловідом або рівномірним розподілом (екулібруванням). Натомість, енергія переливалася між кількома низькочастотними режимами та, після тривалого, але кінцевого часу, майже повністю повернулася до початкового однорежимного стану. Це майже повне відновлення, що сталося абсолютно несподівано, тепер називається проблемою Фермі-Пасти-Улама-Цинґо (ФПУЦ), а вирішення того, чому це відбувається, зайняло фізикам більше десятиліть.

ланцюг та його нелінійність

LANЦЮГ FPUТ складається з N мас, з’єднаних між собою пружинами найближчого сусідства, де сила між сусідніми масами включає звичайний лінійний член плюс невелике квадратичне або кубічне відхилення: m * d^2x_i/dt^2 = k(x_{i+1} - 2x_i + x_{i-1}) + α[ (x_{i+1}-x_i)^2 - (x_i-x_{i-1})^2] (α-модель, квадратичне)  або з кубічним членом β[(x_{i+1}-x_i)^3 - (x_i-x_{i-1})^3] (β-модель) Якщо α = β = 0, це просто лінійний ланцюг із закорельованих гармонічних осциляторів, нормальні режими яких ніколи не обмінюються енергією — тобто, лінійний ланцюг, запущений в один режим, залишається в цьому режимі назавжди. Лише нелінійний член дозволяє режима захоплюватися та обмінюватися енергією, що й пояснює природність очікування кінцевої теплової рівноваги та дивовижне явище її відсутності (принаймні за спостережуваним часовим масштабом).

m · d²x_i/dt² = k(x_{i+1} − 2x_i + x_{i−1}) + α[(x_{i+1}−x_i)² − (x_i−x_{i−1})²]   (α-model, quadratic)
      or with a cubic term β[(x_{i+1}−x_i)³ − (x_i−x_{i−1})³]                              (β-model)

Розв’язування колисникової хвилі

Пояснення, знайдене Забускі та Круксалом у 1965 році, полягало в тому, що в межі безперервності ланцюг рівнянь FPU приблизно відповідає диференціальній рівнянню Котевгорта-де Вілья (КdV), відомому тим, що підтримує колисанки: стабільні локалізовані хвильові імпульси, які проходять один через одного при зіткненнях і зберігають свою форму та швидкість після цього, що є ознакою особливої майже інтегрованої структури, яка ховається під виглядом видимого нелінійного хаосу. Оскільки основні динамічні процеси близькі до інтегровної системи (тобто з такою ж кількістю збережених величин, як і ступенів свободи), траєкторії енергії в просторі мод залишаються обмеженими поблизу майже періодичних орбіт замість того, щоб розповсюджуватися еродійно — що саме було спостерігано командою Фермі щодо майже повторення, а не справжнього теплового збудження.

Тода-латиця: точна розв’язувана відповідь

Близько того ж періоду, Маріказу Това виявив конкретну нелінійну силу пружини з експоненційним, а не поліноміальним характером, для якої ланцюг є точно інтегруваним – тобто має стільки ж збережених величин, скількой частинок, і його розв’язки можна записати у закритому вигляді через рішення (солітони), які ніколи не вимикаються. Тода-латиця займає важливе місце поряд із латицєю ФПУ: поліномна ланцюг латиці ФПУ не є точно інтегруваним, але для достатньо слабкої нелінійності він поводиться майже так, ніби це було, протягом експоненціально тривалого часу, що є сучасним розумінням того, чому з’являється повторний рух, а не миттєве теплові розсіювання.

Хвильовий хаос проти справжньої рівномірності

Збільшення сили нелінійності, позначаючись α або β, до певного рівня, або очікування достатнього часу при помірній силі, призведе до того, що ланцюг FPUT відійде від його квазіперіодичних повторень і врешті-решт встановить справжню рівномірність — поведінку, пов’язану з початком великого масштабу хаосу в просторі фаз амплітуд моди, де ефективні ліантєвські експоненти мод стають позитивними. Перехід від упорядкованого переливання енергії до справжнього хвильового хаосу, що відбувається при збільшенні одного параметра, є одним із найчистіших лабораторних демонстрацій того, як детерміновані нелінійні системи переходять від майже інтеглюваної поведінки до повної термодинамічної рівномірності.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Chaotic Waves і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.