Математика Спірографа: Гіпотрохоїди, Епітрохоїди та Відношення, Що Вирішує Все

Круг, що котиться всередині кільця

Спірографічний вигин утворюється за допомогою простої фізичної установки: невеликий круг радіусу r котиться без прослизання всередині фіксованого кільця радіусу R. Олівець, утримуваний на відстані d від центру малого кола, відтворює криву, яка називається гіпотрохоїдою, коли вся система обертається. Замість цього, покладіть невеликий круг навколо зовнішньої сторони кільця, і олівець відтворює епітрохоїду. Обидві криві регулюються одним і тим самим принципом, лише знак одного члена змінюється.

Параметричні рівняння

Обидва криві походять від однієї конструкції: центр маленького кола обертається навколо центру кільця, а ручка додатково обертається навколо центру маленького кола з частотою, встановленою обмеженням безсковзного обертання.

Гіпотрохоїда (котиться ВНУТРІШЕ кільця): x(t) = (R - r)·cos(t) + d·cos( (R - r)/r · t ) y(t) = (R - r)·sin(t) - d·sin( (R - r)/r · t ) Епітрохоїда (котиться ЗОДОВНО кільця): x(t) = (R + r)·cos(t) - d·cos( (R + r)/r · t ) y(t) = (R + r)·sin(t) - d·sin( (R + r)/r · t ) Спеціальний випадок d = r → гіпоциклоїда / епіциклоїда (зубчики торкаються кільця) Спеціальний випадок R = r, d = r, епітрохоїда → кардіоїд Перший член кожного рівняння відстежує повільне кругове обертання центру маленького кола навколо кільця; другий член додає власне швидке обертання ручки навколо цього рухомого центру з кутовою частотою, масштабованою за співвідношенням двох радіусів. Перехресний ефект між цими двома обертами – повільним і швидким – створює візерунок «розети» замість простого кола.

Hypotrochoid (rolling INSIDE the ring):
  x(t) = (R - r)·cos(t) + d·cos( (R - r)/r · t )
  y(t) = (R - r)·sin(t) - d·sin( (R - r)/r · t )

Epitrochoid (rolling OUTSIDE the ring):
  x(t) = (R + r)·cos(t) - d·cos( (R + r)/r · t )
  y(t) = (R + r)·sin(t) - d·sin( (R + r)/r · t )

special case d = r  →  hypocycloid / epicycloid (cusps touch the ring)
special case R = r, d = r, epitrochoid  →  the cardioid

Чому відношення R/r визначає кількість зубців пелюсток

Запишіть відношення двох радіусів у найпростішому вигляді як R/r = p/q. Крива замикається, коли малий круг завершує q повних обертів всередині кільця, а ручка при цьому робить p обертів відносно кільця — закрита крива має p гострих кінців (якщо d = r) або p гладких лобових частин (якщо d ≠ r). Це саме пояснює, чому класична пластикова іграшка Spirograph з передаточними колесами, які мають цілі числа зубів, завжди замикається після короткого та передбачуваного кількості обертів — кількість зубів визначає p і q як невеликі цілі числа.

Введіть нераціональне відношення – таке, яке жодне передаткове колесо фізично не може створити, але може створити безперервне моделювання – і крива ніколи не замикається. Замість цього шлях ручки все щільніше заповнює кільце, витісняючи форму, яка наближається (але ніколи не стає) до заповненого кільця, що є чудовим конкретним прикладом різниці між раціональними та ірраціональними числами, яку можна спостерігати на екрані.

Від спірографа до кардіоїда та далі

Весь ряд кривих з суфіксом ”-oid”, які знайомі з курсів математичного аналізу, є просто особливими налаштуваннями одних і тих самих двох рівнянь. Якщо встановити d = r, ви отримаєте гіпоциклоїд або епіциклоїд, причому гострі кінчики точно торкаються зовнішнього кільця – три кінчики при R/r = 3 утворюють дельтоїд, чотири – астроїд. Якщо встановити R = r у випадку епітрохоїди з d = r, дволомий епіциклоїд стискається в єдину серцеподібну криву: кардіоїд, таку ж криву, що й виникає як межувальна каустика на поверхні чашки з кавою, освітленої з одного боку, і як основне тіло множинства Мандельброта.

Відображення результату правильно

Оскільки крива повністю параметризована, її побудова полягає у відборі значень t на достатньо дрібному кроці та з’єднанні цих точок — без диференціального рівняння, без чисельної інтеграції та без накопичення похибок. Потрібно лише правильно обрати діапазон відбору: щоб побачити повну замкнуту криву, необхідно запускати t від 0 до 2π·q (а не просто 2π), де q – це знаменник скороченого відношення R/r, інакше крива виглядатиме "обрізаною" посередині свого візерунка, хоча математика правильна.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Spirograph і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.