Matematyka Spirografu: Hipotrochoidy, Epitrochoidy i Stosunek Decydujący o Wszystkim

Kształtowanie się krzywej spirograficznej: ruch wewnętrznego okręgu

Krzywa spirograficzna powstaje dzięki prostemu ustawieniu fizycznemu: mały okrąg o promieniu r obraca się bez poślizgu wewnątrz nieruchomego pierścienia o promieniu R. Dysk piszący, umieszczony w odległości d od środka małego okręgu, rysuje krzywą nazywaną hipotochoidem podczas obrotu całego systemu. Zamiast tego, można przewrócić ten sam mały okrąg wokół zewnętrznej strony pierścienia, a dysk piszący narysuje krzywą nazywaną epitochoidem. Obie krzywe są rządzone tą samą zasadą, jedynie znak jednego terminu się odwraca.

Parametryczne równania

Oba krzywe pochodzą od tej samej konstrukcji: środek małego koła przesuwa się wokół środka pierścienia, a punkt pisarski dodatkowo obraca się wokół środka małego koła z prędkością określoną przez warunek bezpoślizgowego toczenia.

Hipotrochoida (tocząca SIĘ WNĘŻNIE w pierścień): x(t) = (R - r)·cos(t) + d·cos( (R - r)/r · t ) y(t) = (R - r)·sin(t) - d·sin( (R - r)/r · t ) Epitrochoida (tocząca SIĘ WYŁĄCZNIE poza pierścień): x(t) = (R + r)·cos(t) - d·cos( (R + r)/r · t ) y(t) = (R + r)·sin(t) - d·sin( (R + r)/r · t ) specjalny przypadek d = r → hipocykloida / epicykloida (wierzchołki dotykają pierścienia) specjalny przypadek R = r, d = r, epitrochoida → kardioida Pierwszy człon każdego równania śledzi powolne okrągłe ruchy środka małego koła wokół pierścienia; drugi człon dodaje własniejszy, szybszy obrót punktu pisarskiego wokół tego poruszającego się centrum, z prędkością kątową przeskalowaną przez stosunek dwóch promieni. Interferencja między tymi dwoma obrotami – jednym powolnym i drugim szybkim – jest odpowiedzialna za powstanie rozeta zamiast prostej okręgu.

Hypotrochoid (rolling INSIDE the ring):
  x(t) = (R - r)·cos(t) + d·cos( (R - r)/r · t )
  y(t) = (R - r)·sin(t) - d·sin( (R - r)/r · t )

Epitrochoid (rolling OUTSIDE the ring):
  x(t) = (R + r)·cos(t) - d·cos( (R + r)/r · t )
  y(t) = (R + r)·sin(t) - d·sin( (R + r)/r · t )

special case d = r  →  hypocycloid / epicycloid (cusps touch the ring)
special case R = r, d = r, epitrochoid  →  the cardioid

Dlaczego stosunek R/r kontroluje liczbę płatów

Zapisz stosunek dwóch promieni w najprostszym ułamku jako R/r = p/q. Krzywa zamyka się precyzyjnie wtedy, gdy mały okrąg wykonał q pełnych obrotów po wewnętrznej stronie pierścienia, a w tym czasie pióro przesuwało się wokół p razy względem pierścienia – zamknięta krzywa kończy się p wypukłymi łuskami (jeśli d = r) lub p gładkimi łętami (jeśli d ≠ r). To właśnie dlatego klasyczna plastikowa zabawka Spirograph, której zęby mają małe, całkowite liczby, zawsze zamyka się po krótkiej, przewidywalnej liczbie obrotów – liczniki zębów ustalały p i q jako małe liczby całkowite dzięki konstrukcji.

Wprowadź stosunek niewymierny – taki, jaki żaden koło zębatkowe nie może fizycznie wygenerować, ale symulacja ciągła może – a krzywa nigdy się nie zamyka. Zamiast tego ścieżka pióra wypełnia pierścień coraz bardziej gęsto, tworząc kształt, który zbliża się do (ale nigdy nie staje się) wypełnionego pierścienia, co stanowi eleganckie i konkretne ilustrację różnicy między liczbami wymiernymi a niewymiernymi, którą można obserwować na ekranie.

Od spirografu do kardioidy i dalej

Cała rodzina krzywych o przyrostach "-oid", znanych z kursów rachunku, to jedynie specjalne ustawienia tych samych dwóch równań. Ustaw d = r, otrzymasz hipocykloidę lub epicykloidę, w których ostre wypukłości dokładnie dotykają zewnętrzną pierścień – trzy wypukłości dla R/r = 3 dają deltoid, cztery dają astroid. Ustaw R = r w przypadku epitrochy z d = r, a dwupięciowa epicykloida upada do pojedynczej, sercowo kształtnej krzywej: kardioidy, która pojawia się jako graniczna kwasica na powierzchni filiżanki kawy oświetlonej jednym źródłem światła, oraz jako główny korpus zbioru Mandelbrota.

Poprawny rysunek

Ponieważ krzywa jest w pełni parametryczna, jej narysowanie polega na próbkowaniu wartości t w wystarczająco drobnych krokach i łączeniu tych punktów – nie ma potrzeby rozwiązywania równania różniczkowego, używania numerycznego integratora ani uwzględniania kumulowanej błędności. Potrzebne jest jedynie dobranie zakresu próbkowania: aby zobaczyć pełny, zamknięty łuk, należy uruchomić t od 0 do 2π·q (nie tylko 2π), gdzie q oznacza mian zmniejszonego stosunku R/r, w przeciwnym razie krzywa będzie wyglądała "przerwana" w połowie swojego wzoru, mimo poprawnej matematyki.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Spirograph i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.