Аполлонійська діаграма: Упаковка нескінченності в коло

Три кола, одне гарантоване четверте

Візьміть будь-які три кола, які взаємно дотикаються — кожне з них торкається інших двох у точно одному точці, без перекриттів. Завжди існує коло, яке щільно вміщується в вигнуту трикутну прогалину між ними, дотичне до всіх трьох. Це не випадковість конкретно обраних кіл; це випливає з елегантної та компактної алгебраїчної теореми, відомої з давніх часів і віднайдену новою René Descartes у листі 1643 року: Теорема Декарта про кола.

Теорема Декарта щодо кіл

Теорема сформульована через кривизну, k = 1/радіус, з урахуванням знаків: коло, яке оточує інші три (зовнішня межа всієї фігури), має від’ємну кривизну, оскільки воно вигинається в протилежному напрямку порівняно з меншими колами, що знаходяться всередині нього.

(k1 + k2 + k3 + k4)^2 = 2·(k1^2 + k2^2 + k3^2 + k4^2) Розв’язуючи для кривизни нової колі, отримаємо: k4 = k1 + k2 + k3 ± 2·sqrt(k1·k2 + k2·k3 + k3·k1) k = 1 / радіус (від'ємне значення для кола, яке оточує інші) Задано три взаємоперпендикулярні кола, ця формула безпосередньо дає кривизну — і з кривизни радіус — четвертого колі, не потребуючи тригонометрії, ітерацій або знаходження коренів. ± відображає той факт, що завжди є два кола, які дотикаються заданого трикутника, одне з кожного боку; конструкція фігури зберігає менший корінь, який впирається у наявний проміжок, а не поглинає всю конфігурацію.

(k1 + k2 + k3 + k4)^2 = 2·(k1^2 + k2^2 + k3^2 + k4^2)

solved for the new circle's curvature:
k4 = k1 + k2 + k3 ± 2·sqrt(k1·k2 + k2·k3 + k3·k1)

k = 1 / radius   (negative for a circle that encloses the others)

Рекурсія: заповнення проміжків у проміжках

Почніть із зовнішнього кола та двох кіл, упакованих всередині нього, взаємоперпендикулярних до нього та до межі — три кола, три взаємно перпендикулярних дотичні. Теорема Декарта дає четверте коло, яке заповнює викривлену трикутну область посередині. Це четверте коло тепер утворює три нові викривлені трикутники з сусідами та кожне з них отримує свій власний новий вписаний круг шляхом застосування тієї ж формули ще раз. Кожне нове коло породжує ще три проміжки, назавжди. Будівництво ніколи не завершується, оскільки викривлена трикутна дірка, незалежно від її розміру, топологічно однакова форма, незалежно від того, як далеко вниз ви рекурсуєте — завжди є місце для одного додаткового кола.

Фрактал із дивною, точною мірою

Після нескінченної кількості поколінь кола повністю покривають площу зовнішнього обризу, крім невеликої множини точок, які не належать жодному з кіл — гільсберга, сам обрис, який ви бачите. Ця множина має нульову площу, але є набагато складнішою за будь-яку звичайну криву, і її гаусівська міра – показник, що вимірює, як вона заповнює простір між одним та двома розмірами – обчислена чисельно приблизно дорівнює 1.3057. На відміну від міри, наприклад, сніжинки Коха, це число не має відомого замкненого виразу через звичні константи; воно виникає з багатофрактального спектру розподілу розмірів кіл у поколіннях, і математики десятиліттями вдосконалювали все більш точні чисельні межі для нього.

Цілісні кривизни: апполонівське пакування кіл та теорія чисел

Якщо початкові чотири кола мають цілісні кривизни, формула Декарта гарантує, що кожне окреме коло у всьому нескінченному пазлі також має цілу кривизну – це вражаюча особливість, оскільки формула включає квадратний корінь. Це працює тому, що починаючи з інтегрального Декартова квадрукту, рекурсія потребує лише лінійного відношення k4 = 2(k1+k2+k3) - k4' (сума двох коренів квадратичного рівняння), яке автоматично зберігає цілісність. Це перетворює пазл на справу об’єкт вивчення в галузі теорії чисел: які цілі числа з’являються як кривизни, наскільки щільно вони укладаються та з якою статистичною дистрибуцією – це все ще відкриті питання досліджень, пов'язані з теорією квадратичних форм та арифметикою апполонівських груп.

Frequently asked questions

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Apollonius Gasket і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.