Балістичний Маятник: Два Закони Збереження, Одна Швидкість Кулі

Швидкість занадто висока для безпосереднього вимірювання

До появи хронометрів та радарів, вимірювати кумулятивну швидкість кулі – зазвичай сотні метрів на секунду – було неможливо, просто спостерігаючи за секундоміром. Балістичний підвіс, розроблений Бенджаміном Робінсом у 1740-х роках, повністю обходить цю проблему: вистрілити кулю в великий дерев’яний блок, що м’яко посилений подушкою та висить на важелі, дозволити кулі зануритися та виміряти щось повільне та легке замість цього – висоту, на яку весь блок відхиляється після удару. З цієї однієї висоти підйому, завдяки послідовному застосуванню двох законів збереження, вам повертається початкова швидкість кулі.

Етап 1: зіткнення - імпульс, а не енергія

Куля маси m, що рухається зі швидкістю v, входить у стаціонарний блок маси M. Це абсолютно нееластична зіткнення – обидва об'єкти рухаються разом як один, і тут правильним є закон збереження лінійного імпульсу, який справедливий для будь-якої зіткнення незалежно від того, чи втрачається енергія, оскільки збереження імпульсу вимагає лише відсутності зовнішніх горизонтальних сил під час короткого впливу:

m v = (m + M) V (імпульс зберігається в процесі зіткнення) V = m v / (m + M) V = сумарна швидкість після входу

Звісно, це помилково спробувати застосувати збереження енергії до цієї ж зіткнення. Енергія не зберігається в абсолютно нееластичній зіткненні – значна частина перетворюється на тепло, звук та пластичну деформацію, яка дозволяє кулі входити, а не відскакувати. Застосування ½mv² = ½(m+M)V² тут безшумно припускає, що втрачено ніякої енергії, і дасть швидкість кулі значно нижчу за реальну.

m v  =  (m + M) V          (momentum conserved through the impact)

V  =  m v / (m + M)         V = combined speed right after embedding

Визначення втрат енергії

KE до = ½ m v² KE після = ½ (m+M) V² = ½ (m+M) [m v/(m+M)]² = ½ m²v² / (m+M) Відсоток збереженої KE = m / (m + M) Наприклад, для легкої кулі, що входить у значно важчий блок – 10-грамова кулька та 2-кілограмний блок – відсоток збереження енергії становить приблизно 0,5%: понад 99% початкової кінетичної енергії кулі втрачається, перетворюючись на тепло та деформацію за мілісекунди. Це реальна, значна фізично необхідна втрата, а не помилка моделювання – і саме тому друга стадія аналізу повинна використовувати абсолютно іншу величину.

KE before  = ½ m v²
KE after   = ½ (m+M) V² = ½ (m+M) [m v/(m+M)]² = ½ m²v² / (m+M)

fraction of KE RETAINED  =  m / (m + M)

Етап 2: рух - тепер застосовується закон збереження енергії

Після того, як куля заглибилася, зіткнення закінчено. Від цього моменту вперед сукупність кулі та блоку просто коливається на осі підвісу, перетворюючи свою кінетичну енергію на потенціальну гравітаційну енергію, коли вона піднімається, без подальших зіткнень і (враховуючи незначні тертя та опір повітря) без втрат енергії. Тут закон збереження енергії є саме відповідним інструментом:

½ (m+M) V² = (m+M) g h (кінетична енергія після удару → потенціальна енергія на найвищій точці коливання) V = √(2 g h) h = виміряний підйом підвісу

об'єднавши це з етапом 1, щоб знайти початкову швидкість кулі v: v = [(m+M)/m] · √(2 g h) Висота h на вершині коливання легко вимірюється - за допомогою простого механізму фіксації, який відзначає найвищу досягнуту точку, та лінійки Robins змогла отримати цю висоту. Підставивши h в обидва рівняння, вона отримала v – швидкість кулі у момент удару – виключно з вимірювань статичної швидкості, мас m і M, та висоти коливання h.

½ (m+M) V²  =  (m+M) g h        (KE right after impact → PE at peak swing)

V  =  √(2 g h)                   h = measured rise of the pendulum

combine with Stage 1 to solve for the original bullet speed v:
v  =  [(m+M)/m] · √(2 g h)

Загальне правило: узгоджуйте закон з фізикою

Балістичний підвіс – це невеликий, самодостатній урок про те, коли застосовувати кожен закон збереження. Закон збереження імпульсу практично беззастережно діє для ізольованої системи під час зіткнення, незалежно від того, чи є зіткнення пружним, чи ні. Закон збереження енергії, навпаки, потребує справді консервативного процесу для підтримки – це справедливо для коливання (лише гравітація, без удару), не відповідає самому удару по вкладенню (тертя, деформація, тепло). Помилка у застосуванні цих законів або застосування неправильного закону до неправильної фази є однією з найпоширеніших помилок у вводному механіці, і це пристрій робить цю відмінність конкретною та вимірною, а не абстрактною.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Ballistic Pendulum і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.