Машина Атвуда: Закони Ньютона на Ролику

Пристрій, що уповільнює вільнопадіння

Машина Атвуда, розроблена священником Джорджем Атвудом у 1784 році, є одним із найпростіших пристроїв з класичної механіки: дві маси, m1 та m2, висять по обидва боки від легкого тросу, який проходить через блок. Якщо m1 і m2 відрізняються за вагою, то важчий кінець падає, а легший піднімається, обидва рухаючись з однаковою величиною прискорення, оскільки нерозтяжний трос пов'язує їхні рухи разом. Цей пристрій має беззаперечний інтерес у фізичних класах завдяки тому, що він вимагає та винагороджує ретельне застосування другого закону Ньютона до двох зв’язаних тіл одночасно.

Дві рівняння, одна спільна невідома

Запишіть друге закон Ньютона окремо для кожної маси, беручи до уваги напрямок руху кожної маси як позитивний. Натяг тросика T однаковий на обох сторонах для ідеального безмасового, необтяженого блок та нерозтяжний, безмасовий трос:

m1 * g - T = m1 * a (більша маса, m1 > m2, прискорюється вниз) T - m2 * g = m2 * a (менша маса, прискорюється вгору, |a| однакове) Додавання цих двох рівнянь усуває T: a = g * (m1 - m2) / (m1 + m2) Підставляємо назад: T = 2 * m1 * m2 * g / (m1 + m2) Два перевірки на адекватність роблять результат достовірним. Встановлюємо m1 = m2, тоді прискорення a зникає, а T = m1*g = m2*g - маси збалансовані і нічого не рухається, що відповідає інтуїції. Встановлюємо m2 → 0 (одинизна маса падає вільно з трос, який практично безкоштовно перекинутий через блок) та a → g, T → 0 - звичайне вільне падіння, оскільки на протилежному кінці немає нічого, що б його чинила.

m1 g - T = m1 a        (heavier mass, m1 > m2, accelerating downward)
T - m2 g = m2 a        (lighter mass, accelerating upward, same |a|)

adding the two equations eliminates T:
    a = g (m1 - m2) / (m1 + m2)

substituting back:
    T = 2 m1 m2 g / (m1 + m2)

Чому натяг тросика завжди знаходиться між двома вагами

Часто зустрічається помилкове уявлення, що натяг тросика дорівнює одній з підвішених ваг. Це не так: якби T дорівнювало m1g точно, сума сил, діючих на масу 1, була б рівною нулю, і вона б не прискорювалася – але вона прискорюється з прискоренням a разом із масою 2. Правильне значення, T = 2m1m2g/(m1+m2), завжди знаходиться строго між m2g та m1g (для m1 ≠ m2): достатньо більше за вагою m2, щоб прискорювати її вгору, і достатньо менше за вагою m1, щоб дозволити m1 прискорюватися вниз з точно таким самим спільним прискоренням a, яке натягує нерозтяжний трос на обох сторонах.

Коли сам блок має масу

Реальний блок має масу і, відповідно, свій момент інерції I, який необхідно розкручувати за допомогою мотузки, що рухається по ньому – це означає, що навантаження на мотузку з обох боків більше не є точно рівним, оскільки невеличкий мережевий момент (T1 - T2)·r прискорює обертання блоку.

Розглядаючи обидва маси та рівняння обертання блоку разом (з урахуванням лінійного прискорення мотузки a, пов’язаного з кутовим прискоренням блоку α за формулою a = αr для мотузки, яка не ковзає), отримуємо модифікований результат:

a = g (m1 - m2) / (m1 + m2 + I/r²)

I/r² діє як додаткова маса, що поділена між обома сторонами – важчий або більшого радіуса блок завжди призводить до більш повільного прискорення системи для заданих m1 і m2.

Додатковий член I/r² у знаменнику поводиться як додаткова інерційна маса, додана симетрично до системи: енергія, яка в іншому випадку повністю переходила б у лінійну кінетичну енергію двох мас, тепер частково направляється на обертальну кінетичну енергію блоку. Таким чином, для будь-якого заданого дисбалансу m1 - m2, реальний блок завжди забезпечує менше прискорення, ніж передбачає ідеальна формула безмасового блоку – це чудове та конкретне проілюстрування того, як обертальний моментум "забирає" прискорення у лінійну систему, коли вони пов'язані.

a = g (m1 - m2) / (m1 + m2 + I/r²)

I/r² acts exactly like EXTRA mass shared by both sides —
a heavier or larger-radius pulley always makes the system
accelerate more slowly for the same m1 and m2

Чому фізики 18-го століття полювали на це

Падіння вільно у відношенні до поверхні Землі відбувається приблизно з прискоренням 9,8 м/с² – надто швидко для людини з годинником або маятниковим таймером, щоб точно виміряти його за короткого падіння в епоху Атвуда. Гений його машини полягає в тому, що a = g(m1-m2)/(m1+m2) можна зробити практично довільно, просто обираючи m1 та m2 близькими один до одного: якщо m1 лише трохи важчий за m2, прискорення може бути мізерною часткою g, забезпечуючи повільний, легко вимірюваний падіння на вимірювану відстань. Атвуд використовував саме цей трюк, щоб отримати деякі з найбільш точних експериментальних вимірювань g, доступних у той час, і пристрій залишався стандартною лабораторною демонстрацією та інструментом для вимірювання протягом понад століття після цього.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Atwood Machine і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.