Pendulum Balistyczne: Dwie Zasady Zachowania, Jedna Prędkość Pocisku

Pomiar prędkości zbyt szybkiej do bezpośredniego zmierzenia

Przed erą chronografów i radarów, mierzenie prędkości pocisku – zwykle setki metrów na sekundę – nie było czymś, co można było robić obserwując minutnik. Balistyczny wahacz, opracowany przez Benjamina Robinsona w latach 40. XVIII wieku, całkowicie omija ten problem: wystrzel pocisk do dużego, miękkiego, drewnianego bloku zawieszonego na osi obrotowej, pozwól mu się wryć i zmierz coś wolnego i łatwego – jak wysoko odbije cały blok. Z tego jednego wychylenia wykorzystujesz dwa prawa zachowania w sekwencji, aby odzyskać pierwotną prędkość pocisku.

Etap 1: zderzenie - pęd, nie energia

Kulka o masie m poruszająca się ze prędkością v wbija się w nieruchomą blok o masie M. Jest to idealnie nieelastyczny zderzenie – oba obiekty poruszają się razem jako jeden, a prawidłowym prawem do zastosowania tutaj jest zachowanie pędu liniowego, które obowiązuje w każdym zderzeniu niezależnie od tego, czy energia jest rozpraszana, ponieważ zachowanie pędu wymaga jedynie braku zewnętrznych sił poziomych podczas krótkiego kontaktu:

m v = (m + M) V (pęd zachowany przez kontakt) V = m v / (m + M) V = prędkość po wbijeniu, łączna Jest kuszące i błędne, aby również zastosować zasadę zachowania energii podczas tego samego kontaktu. Energia kinetyczna nie jest zachowywana w idealnie nieelastycznym zderzeniu – duża jej część jest przekształcana w ciepło, dźwięk oraz odkształcenia plastyczne, które umożliwiają wbicie się kulki zamiast odbicia. Zastosowanie ½mv² = ½(m+M)V² tutaj bezwzględnie zakłada brak utraty energii i dałoby prędkość kulki znacznie niższą niż rzeczywista.

m v  =  (m + M) V          (momentum conserved through the impact)

V  =  m v / (m + M)         V = combined speed right after embedding

Określanie strat energii

Energia kinetyczna przed = ½ m v² Energia kinetyczna po = ½ (m+M) V² = ½ (m+M) [m v/(m+M)]² = ½ m²v² / (m+M) Procent energii zachowanej = m / (m + M) Rozważmy przykład: 10-gramowy pocisk wbijający się w znacznie cięższy blok o masie 2 kilogramów. Wówczas procent zachowanej energii wynosi około 0,5%: ponad 99% początkowej energii kinetycznej pocisku ulega utracone, rozproszone na ciepło i odkształcenia w ciągu ułamka milisekundy. Jest to realna, znaczna strata fizycznie istotna, a nie problem modelowania – dlatego druga faza analizy musi wykorzystać zupełnie inną wielkość.

KE before  = ½ m v²
KE after   = ½ (m+M) V² = ½ (m+M) [m v/(m+M)]² = ½ m²v² / (m+M)

fraction of KE RETAINED  =  m / (m + M)

Etap 2: ruch - teraz obowiązuje zasada zachowania energii

Po włożeniu pocisku kolizja się kończy. Od tego momentu połączony system pocisk-blok po prostu zawisający na ramieniu penduluma, zamieniając swoją energię kinetyczną na potencjalną energię grawitacji podczas wznoszenia się, bez dalszych kolizji i (idealnie pomijając niewielkie tarcie i opór powietrza) bez dalszych strat energii. Tutaj zasada zachowania energii jest idealnym narzędziem:

½ (m+M) V² = (m+M) g h (KE po uderzeniu → PE na szczycie zawieszenia) V = √(2 g h) h = zmierzony wzrost penduluma połącz z Etapem 1, aby rozwiązać dla oryginalnej prędkości pocisku v: v = [(m+M)/m] · √(2 g h) Wysokość h na szczycie zawieszenia jest łatwa do zmierzenia - za pomocą prostego zatrzasku wyznaczonego najwyższego punktu, linijką Robins potrzebował tylko tego. Wprowadzenie h z powrotem do obu równań odzyskuje v, prędkość pocisku w momencie uderzenia, całkowicie z pomiarów statycznych i niskich prędkości: masy m i M oraz wzrost zawieszenia h.

½ (m+M) V²  =  (m+M) g h        (KE right after impact → PE at peak swing)

V  =  √(2 g h)                   h = measured rise of the pendulum

combine with Stage 1 to solve for the original bullet speed v:
v  =  [(m+M)/m] · √(2 g h)

Ogólne przesłanie: dopasuj prawo do fizyki

Ballisticzny wahadło to mały, samodzielny lekcja dotyczący sytuacji, w której każde prawo zachowania znajduje zastosowanie. Zachowanie pędu jest zasadniczo bezwarunkowe dla izolowanego układu podczas kolizji, niezależnie od tego, czy kolizja jest sprężysta, czy nie. Z kolei zachowanie energii potrzebuje prawdziwego procesu konserwatywnego, aby się utrzymać – co prawda dla oscylacji (tylko grawitacja, bez uderzenia), fałszywie dla samego uderzenia wewnątrz, gdzie występują tarcie, odkształcenia i ciepło. Pomieszanie ich lub zastosowanie niewłaściwego prawa do niewłaściwego etapu jest jedną z najczęstszych błędów w mechanice wprowadzającej, a to urządzenie sprawia, że ​​różnica jest konkretna i mierzalna, zamiast abstrakcyjna.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Ballistic Pendulum i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.