The Simple Pendulum: Oscillatory Motion

Maszyna zaprojektowana do spowolnienia upadku wolnego

Urządzenie Atwooda, stworzone przez Reverend George Atwooda w 1784 roku, jest niemal tak proste, jak mechanika klasyczna: dwie masy, m1 i m2, wiszą z przeciwnych końców lekkiego drutu, który przechodzi przez wałeczek. Jeśli m1 i m2 różnią się ze względu na masę, strona cięższa opada, a strona lżejsza się wznosi, obie poruszając się z tym samym przyspieszeniem, ponieważ nieelastyczny drucik łączy ich ruchy. Jego trwały ugruntowanie w klasach fizycznych polega na tym, że ta jedna konfiguracja wymaga i nagradza dokładne zastosowanie drugiego prawa Newtona do dwóch połączonych ciał jednocześnie.

Dwa równania, jedno wspólne nieznane

Napisz drugie prawo Newtona oddzielnie dla każdej masy, przyjmując kierunek, w jakim faktycznie się porusza każda masa, jako dodatni. Napięcie linu T jest takie samo po obu stronach dla idealnego, bezmasowego i nieślizgającego się wałka oraz nieciągłego, bezmasowego linu.

m1 g - T = m1 a (cięższa masa, m1 > m2, przyspieszająca w dół) T - m2 g = m2 a (lżejsza masa, przyspieszająca w górę, to samo |a|)

Dodając te dwa równania eliminuje się T: a = g (m1 - m2) / (m1 + m2)

Podstawiając z powrotem: T = 2 m1 m2 g / (m1 + m2)

m1 g - T = m1 a        (heavier mass, m1 > m2, accelerating downward)
T - m2 g = m2 a        (lighter mass, accelerating upward, same |a|)

adding the two equations eliminates T:
    a = g (m1 - m2) / (m1 + m2)

substituting back:
    T = 2 m1 m2 g / (m1 + m2)

Dlaczego naprężenie łańcucha zawsze mieści się pomiędzy dwoma ciężarami

Często popełniany błąd intuicyjny to założenie, że naprężenie łańcucha równa się jednemu z wiszących ciężarów. Nie może: gdyby T było równe m1g dokładnie, siła wypadkowa działająca na masę 1 byłaby zerowa i nie przyspieszałaby – ale to robi, w tempie a wraz z masą 2. Poprawna wartość, T = 2m1m2g/(m1+m2), można wykazać algebraicznie, że zawsze mieści się ściśle pomiędzy m2g a m1g (dla m1 ≠ m2): wystarczająco duża w stosunku do ciężaru m2, aby przyspieszać go w górę, i wystarczająco mała w stosunku do ciężaru m1, aby umożliwić m1 przyspieszanie w dół, dokładnie tym samym współczynnikiem a, który utrzymuje nieciągniony łańcuch na obu stronach.

Kiedy sama oś obrotowa ma masę

Rzeczywista oś obrotowa posiada masę i dlatego też własny moment bezwładności I, a musi być rozpędzana przez ruch liny po niej – co oznacza, że naprężenie liny na obu stronach nie jest już dokładnie równe, ponieważ mała siła netto (T1 - T2)·r przyspiesza obrót osi – Praca z obiema masami i równaniem obrotowym osi razem (przy założeniu, że liniowe przyspieszenie liny a jest związane z kątowym przyspieszeniem osi przez a = αr dla liny, która się nie ślizga) daje zmodyfikowany wynik:

a = g (m1 - m2) / (m1 + m2 + I/r²) I/r² działa dokładnie jak dodatkowa masa współdzielona przez obie strony – cięższa lub większa oś obrotowa zawsze sprawia, że ​​system pędzi wolniej dla tych samych m1 i m2 Dodatkowy człon I/r² w liczniku zachowuje się dokładnie jak dodatkowa masa bezwładności dodana symetrycznie do systemu: energia, która w przeciwnym razie całkowicie przechodzi w liniową energię kinetyczną dwóch mas, zamiast tego częściowo kierowana jest do energii kinetycznej obrotowej osi, więc dla danego rozkładu m1 - m2, rzeczywista oś obrotowa zawsze daje mniejszy przyspieszenie niż przewiduje idealna bezmasowa formuła – to ładne, konkretne przedstawienie tego, jak bezwładność obrotowa "kradnie" przyspieszenie z systemu liniowego, gdy są one połączone.

a = g (m1 - m2) / (m1 + m2 + I/r²)

I/r² acts exactly like EXTRA mass shared by both sides —
a heavier or larger-radius pulley always makes the system
accelerate more slowly for the same m1 and m2

Dlaczego fizycy z XVIII wieku ją uwielbiali

Spadanie wolne w pobliżu powierzchni Ziemi zachodziło średnio z prędkością 9,8 m/s² - zbyt szybko dla człowieka z ręcznym zegarem lub wahadełem do precyzyjnego pomiaru w krótkim czasie w epoce Atwooda. Genialnością swojej maszyny było to, że a = g(m1-m2)/(m1+m2) można uczynić dowolnie małym po prostu wybierając m1 i m2 bliskie sobie: jeśli m1 jest tylko nieznacznie cięższy niż m2, przyspieszenie może być maleńką częścią g, dając wolne, łatwe do zmierzenia opad w mierzalnej odległości. Atwood użył dokładnie tej sztuczki, aby uzyskać niektóre z najbardziej precyzyjnych pomiarów g dostępnych w tamtym czasie, a urządzenie pozostało standardowym demonstracją i narzędziem pomiarowym w laboratorium przez ponad wiek później.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Atwood Machine i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.