Крижаний Фігурист: Безкоштовна Прискорення Обертання завдяки Обертальному Моменту

Закон збереження моменту обертання

Крижаний фігурист починає оберт з витягнутими руками, обертаючись із помірною швидкістю. Вона зводить руки до тулуби, і без будь-якого зовнішнього опору, без жодного зовнішнього впливу, вона помітно прискорюється – іноді навіть значно. Поясненням є закон збереження моменту обертання: на слизькій кризі, за відсутності зовнішнього крутного моменту, що діє навколо осі обертання фігуриста (гравітація та нормальна сила льоду діють паралельно цій осі і не створюють будь-якого зертів), величина L = I·ω залишається постійною протягом усього оберту.

Момент інерції: маса, помножена на відстань

Обертальний момент L = I·ω пов'язує дві величини: кутову швидкість ω та момент інерції I – обертальну аналогію маси. Для тіла, що складається з багатьох малих елементів маси, I = Σ m·r² обчислюється як сума маси кожного елемента, помноженої на квадрат відстані r від осі обертання - маса, близька до осі, майже не враховується, а маса, що знаходиться далеко від осі, має велике значення через цей квадратичний член. Розширення руки збільшує значну частину маси тіла на значно більші відстані від осі обертання, що суттєво збільшує I, незважаючи на те, що загальна маса тіла не змінюється; приведення руки назад зменшує цей ефект.

L = I · ω              (angular momentum, conserved with zero net torque)
I = Σ m_i · r_i²        (moment of inertia — mass weighted by r²)

arms out:  I_out  (large)   →  ω_out  (small)
arms in:   I_in   (small)   →  ω_in   (large)

I_out · ω_out  =  I_in · ω_in      (L unchanged)

Обертальний рушійний момент не зберігається

Тут виникає плутанина: хоча кутовий імпульс L залишається постійним, обертальна кінетична енергія KE = ½Iω² не зберігається. Підставляючи L = Iω, ми можемо переписати KE = L²/ (2I). Оскільки L постійна, то зменшення I обов’язково збільшує KE. Лижник дійсно отримує обертальну кінетичну енергію, коли стискає руки, і ця енергія не є безкоштовною; вона виходить з реальної механічної роботи, яку виконують його м'язи, стискаючи руки всередину проти тенденції до викидання (у обертовому, неінерційному просторі це часто описується якби «працювати проти центрифугального ефекту»). Розтягування рук назад зменшує обертальну кінетичну енергію, перетворюючи її на роботу, виконану м’язами лижника, які чинять опір викиданню рук назовні.

Однакові закони всюди

Це не якесь особливе «фігурне лижне» правило – це повністю загальний наслідок симетрії обертання (формально, теорема Нойтера пов’язує збереження омоменту периферії з законами фізики, які є однаковими в будь-якому напрямку), і він проявляється скрізь, де маса об'єкта перерозподіляється під час вільного обертання. Стрільба на платформі приймає тісну позицію для швидкого обертання кількома еліптичними стрибками, а потім розгортається, щоб уповільнити обертання для чистого входу. Кіт, який падає кулясто, використовує відмінне згинання та розгинання передньої та задньої частин тіла – зберігаючи нульовий загальний омомент периферії, але все ж успішно повертається на правий бік, що є справді розумним біомеханічним рішенням, а не порушенням закону. У космосі, коли колáра зірки стискається в кінці свого життєвого циклу, вона зменшується з розміру приблизно Сонця до нейтронної зірки лише близько 20 км у діаметрі; зберігаючи свій омомент периферії при цій величезній зміні радіусу, вона прискорюється від лежкого обертання до сотень обертів на секунду, що є тим, що спостерігається для пульсарів.

Що змінює, що ні

Важливо бути точним щодо того, що порушує закон збереження моменту обертання. Будь-який зовнішній момент обертання навколо осі обертання – тертя з льоду через лійку лижника, поштовх від іншого лижника, опір повітря від розставлених рук – змінює L у часі, точно так само як зовнішня сила змінює звичайний лінійний імпульс. У ідеалізованому симуляції без тертя жодне з цих факторів не діє, тому єдиним способом зміни L є його свідоме застосування; все інше, що робить лижник, зберігаючи момент обертання, торгветься кінетичною енергією на мускульну працю перерозподілу маси, переміщенням рук, ніг або тулуба.

Часті запитання

Спробуйте наживо

Усе, що вище, працює прямо у вашому браузері — відкрийте Angular Momentum: Spinning Skater і змінюйте параметри під час роботи. Нічого не встановлюється, нічого не завантажується на сервер, уся модель живе в одній вкладці.