Apollonius Głoska: Pakowanie Nieskończoności w Okrąg

Trzy okręgi, jeden gwarantowany czwarty

Weź dowolne trzy okręgi, które są wzajemnie styczne – każdy dotyka innych dwóch w dokładnie jednym punkcie, bez nakładania się. Zawsze znajdzie się okrąg, który idealnie pasuje do łukowego otworu trójkątnego między nimi, będąc styczny do wszystkich trzech. Nie jest to przypadek związany z konkretnymi wybranymi okręgami; wynika z eleganckiego i kompaktowego fragmentu algebry, znanej od starożytności i odtworzonego przez René Descartes w liście z 1643 roku: Twierdzenie Descartes o Okręgach.

Twierdzenie Descartes'a o Okręgu

Zasada twierdzenia wyrażona jest w terminach krzywizny, k = 1/promień, z konwencją znaku: okrąg otaczający pozostałe trzy (zewnętrzna granica całego geometrii) przyjmuje krzywicę ujemną, ponieważ łamie on kierunek przeciwny w stosunku do mniejszych okręgów wklęsłych w nim.

(k1 + k2 + k3 + k4)^2 = 2·(k1^2 + k2^2 + k3^2 + k4^2) rozwiązane względem krzywizny nowego okręgu: k4 = k1 + k2 + k3 ± 2·sqrt(k1·k2 + k2·k3 + k3·k1) k = 1 / promień (ujemne dla okręgu otaczającego pozostałe) Przy danym trio współśrodkowych okręgów, ta formuła bezpośrednio daje krzywiznę — a z krzywizny promień — czwartego okręgu stycznego, bez użycia trygonometrii, iteracji ani rozwiązywania równań pierwiastkowych. ± odzwierciedla fakt, że zawsze istnieją dwa okręgi styczne do danego trójkąta, po jednym z każdej strony; konstrukcja geometrii zachowuje mniejszy pierwiastek, który osadza się w istniejącym otworze zamiast pochłaniać całą konfigurację.

(k1 + k2 + k3 + k4)^2 = 2·(k1^2 + k2^2 + k3^2 + k4^2)

solved for the new circle's curvature:
k4 = k1 + k2 + k3 ± 2·sqrt(k1·k2 + k2·k3 + k3·k1)

k = 1 / radius   (negative for a circle that encloses the others)

Rekurencja: wypełnianie luk w lukach

Rozpocznij od okręgu zewnętrznego i dwóch krółków umieszczonych wewnątrz niego, względem siebie stycznych i do obwodu – trzy kręgi, trzy styczności między nimi. Twierdzenie Descartes'a daje czwarty krąg wypełniający łukowy trójkąt w środku. Ten czwarty kręg teraz tworzy trzy nowe łukowe trójkąty z sąsiadami, jeden przeciwko każdej parze, z którymi się styka, i każdy z tych trójkątów otrzymuje własny nowy wpisany kręg poprzez zastosowanie tej samej formuły ponownie. Każdy nowy kręg rodzi trzy kolejne luki, w nieskończoność. Konstrukcja nigdy nie kończy się, ponieważ łukowy trójkątny luk, niezależnie od jego wielkości, jest topologicznie tym samym kształtem bez względu na to, jak głęboko rekursyjna się staje – zawsze jest miejsce na jeden dodatkowy kręg.

Fraktal o dziwnej, precyzyjnej wymiarze

Po nieskończonej liczbie generacji okręgi pokrywają całą powierzchnię obwodu zewnętrznego, z wyjątkiem niewielkiego zbioru punktów, które nie należą do żadnego okręgu – to właśnie gąszcz, krzywa graniczna, którą faktycznie widzimy. Ten pozostały zbiór ma zerową powierzchnię, a jednocześnie jest znacznie bardziej skomplikowany niż jakakolwiek zwykła krzywa, a jego wymiar Hausdorffa – mierzący, w jaki sposób wypełnia on przestrzeń pomiędzy jednym a dwoma wymiarami – został obliczony numerycznie i wynosi około 1,3057. W przeciwieństwie do wymiaru, na przykład, płatku Kocha, ta liczba nie ma znanej, zamkniętej postaci wyrażonej w terminach znanych stałych; wyłania się z spektrum wielofractalnego rozkładu rozmiarów okręgów na kolejnych generacjach, a matematycy od dziesięcioleci dopracowywali coraz bardziej precyzyjne granice numeryczne dla niej.

Pełne krzywizny: Pakowanie okręgów Apolloniusa i teoria liczb

Jeśli początkowe cztery okręgi mają całkowitą krzywiznę, to formuła Descartes’a gwarantuje, że każdy pojedynczy okrąg w całym nieskończonym gnieździe również ma całkowitą krzywiznę – co jest zaskakującym faktem, biorąc pod uwagę, że formuła zawiera pierwiastek kwadratowy. Działa to dlatego, że zaczynając od integralnego czwórki Descartes’a, rekurencja potrzebuje jedynie relacji liniowej k4 = 2(k1+k2+k3) - k4' (suma dwóch pierwiastków równania kwadratowego), która automatycznie zachowuje całkowitość. To przekształca gnieździe w prawdziwy obiekt badań w teorii liczb: jakie liczby całkowite pojawiają się jako krzywizny, jak gęsto i z jaką dystrybucją – to nadal otwarte pytania badawcze związane z teorią form kwadratowych i arytmetyką grup Apolloniusa.

Frequently asked questions

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Apollonius Gasket i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.