PL 
EnglishDomyślny
Українська📉 Funkcja Weierstrassa — nigdzie nieróżniczkowalna
Funkcja Weierstrassa W(x) = Σ aⁿ·cos(bⁿπx) jest wszędzie ciągła, ale nigdzie nieróżniczkowalna, gdy ab > 1 + 3π/2. Przybliżaj, by zobaczyć fraktalne samopodobieństwo w każdej skali.
O tej symulacji
Ten wykreślacz sumuje N wyrazów szeregu W(x) = Σ aⁿ·cos(bⁿπx) i pozwala przybliżać oraz przesuwać widok powstałej krzywej, by zobaczyć, że nigdy się ona nie wygładza. Ponieważ amplituda a < 1 zmniejsza kolejne wyrazy, a częstotliwość b > 1 je zwiększa, wykres pakuje nieskończenie drobne oscylacje w każdy przedział — żywa ilustracja funkcji, która jest wszędzie ciągła, ale nigdzie nieróżniczkowalna.
🔬 Co pokazuje
Obcięta suma Weierstrassa wykreślona na przybliżalnym zakresie x, wraz z obliczanym na bieżąco wymiarem Hausdorffa D = 2 + log(a)/log(b) i wykładnikiem Höldera α = log(1/a)/log(b), pokazanymi obok iloczynu ab, który decyduje o różniczkowalności.
🎮 Jak korzystać
Dostosuj Parameter a i Parameter b, aby zmienić zanikanie amplitudy i wzrost częstotliwości, ustaw Terms N dla dokładności przybliżenia, a następnie przewijaj lub użyj suwaka Zoom level i przeciągania (albo Center x), by badać samopodobieństwo w coraz drobniejszych skalach. Color mode pozwala wyodrębnić poszczególne wyrazy kosinusowe. R resetuje widok.
💡 Czy wiesz, że...
Gdy Karl Weierstrass zaprezentował tę funkcję w 1872 roku, matematyk Charles Hermite podobno nazwał takie patologiczne konstrukcje „straszliwą plagą" — a jednak zmusiła ona tę dziedzinę do porzucenia założenia, że ciągłość niemal wszędzie implikuje różniczkowalność.
Najczęściej zadawane pytania
Dlaczego przybliżanie nigdy nie sprawia, że krzywa wygląda gładko?
Ponieważ funkcja jest samopodobna: skalowanie x przez b i y przez 1/a odtwarza tę samą postrzępioną strukturę w każdej skali. Bez względu na to, jak bardzo przybliżysz widok suwakiem Zoom level, wciąż pojawiają się nowe drobnoskalowe oscylacje pochodzące z wyrazów o wyższej częstotliwości.
Co się stanie, jeśli ustawię ab poniżej 1?
Statystyka Diff.? przełącza się na „Everywhere" (wszędzie) — gdy ab < 1, pochodna szeregu liczona wyraz po wyrazie również jest zbieżna, więc funkcja staje się różniczkowalna. Pierwotne patologiczne zachowanie odkryte przez Weierstrassa wymaga ab ≥ 1 (nieformalnie ab > 1 + 3π/2 w jego ściślejszym oryginalnym dowodzie).
Dlaczego zwiększanie Terms N zmienia drobne detale krzywej, ale nie jej ogólny kształt?
Każdy dodany wyraz wnosi drobniejszą amplitudą i wyższą częstotliwością „falowanie" (odpowiednio aⁿ i bⁿ), więc zwiększanie N doprecyzowuje szczegóły w coraz drobniejszych skalach, nie zmieniając ogólnego kształtu, który jest już zdominowany przez pierwsze kilka wyrazów.
Co wymiar Hausdorffa D mówi o wykresie?
D = 2 + log(a)/log(b) mierzy, jak „chropowaty" jest wykres — dla gładkiej krzywej D=1, ale wykres funkcji Weierstrassa ma D ściśle między 1 a 2 (np. ≈1,37 dla a=0,5, b=3), co ilościowo ujmuje jego fraktalną, wypełniającą przestrzeń postrzępioność.
Dlaczego warto użyć trybu koloru Per-term zamiast po prostu pełnej sumy?
Tryb Per-term rysuje pierwszych pięć składników kosinusowych osobno, w odrębnych kolorach, pozwalając zobaczyć, jak każda pojedyncza częstotliwość przyczynia się do całości, zanim zostaną zsumowane — wizualnie rozkłada sumę na elementy budujące zachowanie nigdzie nieróżniczkowalne.