PL 
EnglishDomyślny
Українська🎨 Spirograf
Parametryczne wzory spirografu — hipotrochoidy i epitrochoidy z regulowanymi promieniami kół zębatych.
O tej symulacji
To narzędzie rysuje spirograf — krzywą kreśloną przez pisak umieszczony wewnątrz lub na zewnątrz małego koła, które toczy się bez poślizgu wokół większego, nieruchomego pierścienia. Toczenie po wewnętrznej stronie daje hipotrochoidę, a po zewnętrznej — epitrochoidę. Każdy punkt jest obliczany z równań parametrycznych w miarę narastania kąta toczenia, a symetria gotowego wzoru zależy wyłącznie od stosunku promienia zewnętrznego R do promienia wewnętrznego r.
🔬 Co pokazuje
Koło o promieniu r toczy się wewnątrz (hipotrochoida) lub na zewnątrz (epitrochoida) nieruchomego pierścienia o promieniu R, z pisakiem umieszczonym w odległości d od środka toczącego się koła. Punkt jest wyznaczany ze wzorów x=(R−r)cos t+d·cos((R−r)/r·t) oraz y=(R−r)sin t−d·sin((R−r)/r·t), przy czym w trybie epitrochoidy (R−r) zastępuje się przez (R+r). Liczba płatków równa się R podzielonemu przez największy wspólny dzielnik R i r.
🎮 Jak korzystać
Przełączaj między Hipotrochoidą a Epitrochoidą lub wybierz gotowy wzorzec, np. Astroidę, 5-płatkową Różę lub Złoty Podział. Suwaki ustawiają promień zewnętrzny R, promień wewnętrzny r, odległość pisaka d, prędkość rysowania, grubość linii i przesunięcie odcienia barwy, z bieżącym odczytem typu krzywej, liczby płatków i liczby obrotów do zamknięcia. Przyciski czyszczą płótno, zapisują rysunek jako PNG lub automatycznie zapętlają animację.
💡 Czy wiesz, że...
Gdy R i r nie mają wspólnego dzielnika, krzywa nie zamknie się, dopóki toczące się koło nie wykona r pełnych okrążeń wokół pierścienia, co może dać setki nakładających się pętli, zanim wzór się w końcu powtórzy.
Najczęściej zadawane pytania
Czym jest krzywa spirografu?
Krzywa spirografu to tor pisaka przymocowanego do małego koła, które toczy się wokół większego koła bez poślizgu. Jeśli małe koło toczy się po wewnętrznej stronie pierścienia, powstała krzywa nazywa się hipotrochoidą; jeśli toczy się po zewnętrznej stronie — epitrochoidą. Obie są gładkimi, symetrycznymi krzywymi parametrycznymi.
Co kontrolują suwaki R, r i d?
R to promień nieruchomego pierścienia zewnętrznego, r to promień toczącego się koła, a d to odległość pisaka od środka tego koła. Zmiana R i r wpływa na symetrię i liczbę płatków, natomiast d decyduje o zasięgu pisaka, przesuwając krzywą pomiędzy zbliżoną do okręgu a efektownymi, pętlowymi rozetami.
Dlaczego niektóre wzory zamykają się tak długo?
Wzór zamyka się dopiero po tym, jak toczące się koło wykona całkowitą liczbę okrążeń, ustaloną przez stosunek R do r. Gdy R i r mają dużą najmniejszą wspólną wielokrotność lub nie mają wspólnego dzielnika, pisak przemierza wiele obrotów, zanim wróci do punktu startowego, przez co figura wielokrotnie nakłada się na siebie, zanim w końcu zacznie się powtarzać.
Czy symulacja jest matematycznie dokładna?
Tak. Wykreśla dokładne parametryczne równania trochoidy, a nie przybliżenie, więc liczba płatków, symetria i sposób zamykania się krzywej wynikają bezpośrednio z wybranych promieni. Wyświetlana liczba płatków wykorzystuje największy wspólny dzielnik R i r, co odpowiada rzeczywistej geometrii krzywej toczącego się koła.
Jaka jest różnica między hipotrochoidą a epitrochoidą?
Hipotrochoida powstaje, gdy toczące się koło pozostaje po wewnętrznej stronie nieruchomego pierścienia, dając kształty skierowane do wewnątrz, przypominające gwiazdy lub rozety. Epitrochoida powstaje, gdy koło toczy się po zewnętrznej stronie, tworząc pętle skierowane na zewnątrz, przypominające kwiaty. W równaniach jest to jedyna różnica: wyrażenie (R−r) zamienia się w (R+r), a znak wyrazu kosinusa się odwraca.